依托米勒问题，传播数学文化

作者：陈万寿  广东佛山顺德莘村中学

          龙宇     广东佛山顺德罗定邦中学

责编：常艳

审核：王常斌

来源：本文发表在《中学数学研究》2019年第2期（下半月）

文章摘要

早在1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？米勒问题在实际生活中的应用十分广泛，如：欣赏一副画的最佳角度、沿边线踢足球的最佳射门点等.这便是经典的米勒问题.

历史上的米勒问题所涉及的范围是三维空间.作为实际问题，我们首要的是根据实物背景抽象出简化的数学模型.模型假设：相对于悬杆而言，地球的体积是相当大的.所以我们视地球表面为平面；为了简化模型，同时忽略观察者身高对答案的影响，即设观察者的身高为0.设悬杆在地面上的投影为，因为悬杆垂直于地面，所以据点相同距离的点所得可见角是一样的.类比可得出平面中的米勒问题.

一、引子·教材中的米勒问题

   

二、米勒问题的证明与运用

 该问题的结论即是所谓的米勒定理.不过该结论的局限性太强，原问题要求悬杆与底面垂直.如果悬杆与底面的夹角为任意角时，对应的可见角是否仍是最大呢？答案是肯定，但通过建系的方法，计算过于繁杂.接下来本文介绍一种几何证明的方法.

三道题目均可直接使用米勒问题的结论，本文不再讨论.

接下来，本文将讨论一下米勒问题的逆向运用以及在“圆”上的相关拓展.

三、米勒问题的推广

四、练习