日期:2019年5月24日 正文共:2295字135图 预计阅读时间:6分钟 来源:king110108 1. 线性代数知识图谱 线性代数是代数学的一个分支,主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如,在解析几何里,平面上直线的方程是二元一次方程;空间平面的方程是三元一次方程,而空间直线视为两个平面相交,由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数 非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。 行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩(向量个数等于维数)。 2. 行列式 2.1 定义矩阵的行列式,determinate(简称det),是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。 2.2 二阶行列式计算方式:对角线法则
2.3 三阶行列式计算方式:对角线法则
2.4 n阶行列式2.4.1 计算排列的逆序数
2.4.2 计算n阶行列式
2.4.3 简化计算总结2.4.4 行列式的3种表示方法2.5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变. 2.6 计算行列式的方法 1)利用定义 定理中包含着三个结论: 定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 . 齐次线性方程组的相关定理 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 2.8 行列式按行(列)展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 3. 矩阵 3.1 矩阵的定义3.1.1 矩阵与行列式的区别3.2 特殊矩阵3.3 矩阵与线性变换3.4 矩阵的运算3.4.1 矩阵的加法行列式与矩阵加法的比较: 3.4.2 数乘矩阵3.4.3 矩阵与矩阵相乘3.4.4 矩阵的转置反对称矩阵(skew symmetric matrix) 3.4.5 方阵的行列式3.4.6 伴随矩阵3.4.7 共轭矩阵3.5 可逆矩阵(或称非奇异矩阵)3.6 矩阵分块法分块矩阵不仅形式上进行转置,而且每一个子块也进行转置. 4. 矩阵的初等变换与线性方程组 4.1 矩阵的初等变换4.2 矩阵之间的等价关系4.3 初等变换与矩阵乘法的关系4.4 矩阵的秩4.5 线性方程组的多解5. 向量组的线性相关性 5.1 向量组及其线性组合5.2 向量组的线性相关性5.3 向量组的秩结论:矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的,但矩阵的秩是唯一的. 5.4 线性方程组的解的结构问题:什么是线性方程组的解的结构? 备注: 5.5 向量空间5.5.1 封闭的概念 定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合. 5.5.2 向量空间的概念 定义:设 V 是 n 维向量的集合,如果 5.5.3 子空间的概念 定义:如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的,则称 V1 是 V 的子空间. 5.5.4 向量空间的基的概念6. 相似矩阵及二次型 6.1 向量的内积、长度及正交性6.1.1 向量的内积6.1.2 向量的长度或范数单位向量:长度为1的向量。 6.1.3 向量的正交性向量正交:向量内积为0。 6.1.4 正交矩阵或正交阵6.1.5 正交矩阵的性质6.2 方阵的特征值与特征向量6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵1)矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。 2)矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。 6.3 相似矩阵6.4 对称矩阵的对角化6.5 二次型及其它标准型
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