1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则( ) A.B=45°或135° B.B=135° C.B=45° D.以上答案都不对 解析:选C.sin B=22,∵a>b,∴B=45°. 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于( ) A.6 B.2 C.3 D.2 解析:选D.由正弦定理6sin 120°=2sin C⇒sin C=12, 于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=2. 3.在△ABC中,若tan A=13,C=150°,BC=1,则AB=__________. 解析:在△ABC中,若tan A=13,C=150°, ∴A为锐角,sin A=110,BC=1, 则根据正弦定理知AB=BC·sin Csin A=102. 答案:102 4.已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,交对边BC于D,求证:BDDC=ABAC. 证明:如图所示,设∠ADB=θ, 则∠ADC=π-θ. 在△ABD中,由正弦定理得: BDsin A2=ABsin θ,即BDAB=sinA2sin θ;① 在△ACD中,CDsin A2=ACsinπ-θ, ∴CDAC=sinA2sin θ.② 由①②得BDAB=CDAC, ∴BDDC=ABAC. 一、选择题 1.在△ABC中,a=5,b=3,C=120°,则sin A∶sin B的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 解析:选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53. 2.在△ABC中,若sin Aa=cos Cc,则C的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选B.∵sin Aa=cos Cc,∴sin Acos C=ac, 又由正弦定理ac=sin Asin C. ∴cos C=sin C,即C=45°,故选B. 3.(2010年高考湖北卷)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=( ) A.-223 B.223 C.-63 D.63 解析:选D.由正弦定理得15sin 60°=10sin B, ∴sin B=10·sin 60°15=10×3215=33. ∵a>b,A=60°,∴B为锐角. ∴cos B=1-sin2B=1-332=63. 4.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选B.由题意有asin A=b=bsin B,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形. 5.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=π3,a=3,b=1,则c=( ) A.1 B.2 C.3-1 D.3 解析:选B.由正弦定理asin A=bsin B,可得3sinπ3=1sin B, ∴sin B=12,故B=30°或150°. 由a>b,得A>B,∴B=30°. 故C=90°,由勾股定理得c=2. 6.(2011年天津质检)在△ABC中,如果A=60°,c=4,a=4,则此三角形有( ) A.两解 B.一解 C.无解 D.无穷多解 解析:选B.因csin A=23<4,且a=c,故有唯一解. 二、填空题 7.在△ABC中,已知BC=5,sin C=2sin A,则AB=________. 解析:AB=sin Csin ABC=2BC=25. 答案:25 8.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=________. 解析:A=180°-30°-120°=30°, 由正弦定理得: a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3. 答案:1∶1∶3 9.(2010年高考北京卷)在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=2π3,则a=________. 解析:由正弦定理,有3sin2π3=1sin B, ∴sin B=12.∵∠C为钝角, ∴∠B必为锐角,∴∠B=π6, ∴∠A=π6. ∴a=b=1. 答案:1 三、解答题 10.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,且a+b+c=30,求a. 解:∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c, ∴a∶b∶c=4∶5∶6.∴a=30×415=8. 11.在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c.已知a=5,b=2,B=120°,解此三角形. 解:法一:根据正弦定理asin A=bsin B,得sin A=asin Bb=5×322=534>1.所以A不存在,即此三角形无解. 法二:因为a=5,b=2,B=120°,所以A>B=120°.所以A+B>240°,这与A+B+C=180°矛盾.所以此三角形无解. 法三:因为a=5,b=2,B=120°,所以asin B=5sin 120°=532,所以b<asin B.又因为若三角形存在,则bsin A=asin B,得b>asin B,所以此三角形无解. 12.在△ABC中,acos(π2-A)=bcos(π2-B),判断△ABC的形状. 解:法一:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B), ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a·a2R=b·b2R, ∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形. 法二:∵acos(π2-A)=bcos(π2-B), ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得: 2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π不合题意舍去) 故△ABC为等腰三角形. |
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