1.鸡兔同笼。今有鸡兔同笼,上有35个头,下有94只脚。鸡兔各几只? 想:假设把35只全看作鸡,每只鸡2只脚,共有70只脚。比已知的总脚数94只少了24只,少的原因是把每只兔的脚少算了2只。看看24只里面少算了多少个2只,便可求出兔的只数,进而求出鸡的只数。 解决这样的问题,我国古代有人想出更特殊的假设方法。假设一声令下,笼子里的鸡都表演“金鸡独立”,兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半,而头数仍是35。这时鸡着地的脚数与头数相等,每只兔着地的脚数比头数多1,那么鸡兔着地的脚数与总头数的差等于兔的头数。我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载:“上署头,下置足。半其足,以头除足,以足除头,即得。”具体解法:兔的只数是94÷2-35=12(只),鸡的只数是35-12= 23(只)。 2.物不知数。 今有物,不知其数。三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何。 这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。 想:此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数,再在其中选择适合另一个条件的数。 3.三阶幻方。把1—9这九个自然数填在九空格里,使横、竖和对角在线三个数的和都等于15。 想:1+9=10,2+8=10,3+7=10,4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15,可确定中心格应填5,这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角,若填两对奇数,那么因三个奇数的和才可能得奇数,四边上的格里已不可再填奇数,不行。若四个角分别填一对偶数,一对奇数,也行不通。因此,判定四个角上必须填两对偶数。对角在线的数填好后,其余格里再填奇数就很容易了。
6.三女归家。今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归。问三女何日相会?这道题也是我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是:一家有三个女儿都已出嫁。大女儿五天回一次娘家,二女儿四天回一次娘家,小女儿三天回一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后,至少再隔多少天三人再次相会? 7.有女善织。有一位善于织布的妇女,每天织的布都比上一天翻一番。五天共织了5丈(50尺)布,她每天各织布多少尺? 8.蜗牛爬井问题。德国数学家里斯曾出过这样一道数学题:井深20尺,蜗牛在井底,白天爬7尺,夜里降2尺,几天可以到达井顶? 9.巧分银子。10个兄弟分100两银子,从小到大,每两人相差的数量都一样。又知第八个兄弟分到6两银子,每两个人相差的银子是多少? 10.泊松问题。法国数学家泊松少年时被一道数学题深深地吸引住了,从此便迷上了数学。这道题是:某人有8公升酒,想把一半赠给别人,但没有4公升的容器,只有一个3公升和一个5公升的容器。利用这两个容器,怎样才能用最少的次数把8公升酒分成相等的两份? 11.牛顿问题。英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题:牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,如果供给25头牛吃,可以吃几天?
14,国王赏麦 印度传说:舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人—本国宰相,宰相就对国王说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格里赏给我一粒麦子,第二个小格里两粒麦子,第三个格里四粒麦子,以后每小格赏给的比前一格多一倍,六十四格放满了,也就是我要的奖赏了”。国王以为很简单,可结果发现把全印度,甚至全世界的麦子拿来也供应不了宰相的要求。 20+21+22+……+263=264-1=18446744073709551615(粒) 15奇怪的遗嘱 相传一位老人临终立下遗嘱,规定3个儿子可分掉他17头牛,但规定老大得总数的1/2,老二得总数的1/3,老三得总数的1/9,大家想半天仍未解决。 一天有个老农牵头牛经过,听说后,想了一会,说道:“我把这头牛借给你们,分完后再把这头牛还给我就行了”。 结果,老大分到9头牛,老二分到6头牛,老三分到2头牛,还剩一头牛正好归还。 16,民间有这样一道题:三十六块砖,三十六人搬,男搬四,女搬三,两个小孩抬一块砖。问男人、女人、小孩各有几人? 17百羊问题” 一牧羊人赶羊,又一过路人牵一肥羊从后面跟了上来,问道:“你赶来的这群羊大概有一百只吧”!牧羊人答:“如果这群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来这群羊的四分之一,连你牵的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只”。问这群羊共几只? X+X+1/2X+1/4X+1=100 X=36 18勾股定理 勾股定理在《九章算术》中的表述:“勾股术曰:勾股各自乘、并,而开方除之,即弦”。 即c=√a2+b2,又有a = √c2-b2、b=√c2-a2 19,余米推数” “问:有米铺诉被盗,去米一般三箩,皆适满,不记细数。今左壁箩剩一合,中间箩剩一升四合,右壁箩剩一合。后获贼,系甲、乙、丙三人,甲称当夜摸得马勺,在左壁箩满舀入布袋;乙称踢得木履,在中箩舀入袋;丙称摸得漆碗,在右壁箩舀入袋,将归食用,日久不知数。索到三器,马勺满容一升九合,木履容一升七合,漆碗容一升二合。欲知所失米数,计赃结断,三盗各几何?” 列不定方程: 2X+Y=M 3Y+Z=M 4Z+W=M 5W+U=M 6U+X=M 20韩 信 点 兵 我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次按1~3报数,第二次按1~5报数,第三次按1~7报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。 这种问题在《孙子算经》中也有记载:“今有物不知其数:三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?” 它的意思就是,有一些物品,如果3个3个的数,最后剩2个;如果5个5个的数,最后剩3个;如果7个7个的数,最后剩2个;求这些物品一共有多少?这个问题人们通常把它叫作“孙子问题”, 西方数学家把它称为“中国剩余定理”。到现在,这个问题已成为世界数学史上闻名的问题。 到了明代,数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀: 三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;七子团圆正半月,除百零五便得知。 用现在的话来说就是:一个数用3除,除得的余数乘70;用5除,除得的余数乘21;用7除,除得的余数乘15。最后把这些乘积加起来再减去105的倍数,就知道这个数是多少。 《孙子算经》中这个问题的算法是: 70×2+21×3+15×2=233 233-105-105=23 所以这些物品最少有23个。 根据上面的算法,韩信点兵时,必须先知道部队的大约人数,否则他也是无法准确算出人数的。你知道这是怎么回事吗? 这是因为,被5、7整除,而被3除余1的最小正整数是70。 被3、7整除,而被5除余1的最小正整数是21; 被3、5整除,而被7除余1的最小正整数是15; 所以,这三个数的和15×2+21×3+70×2,必然具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。 以上解法的道理在于: 被3、5整除,而被7除余1的最小正整数是15; 被3、7整除,而被5除余1的最小正整数是21; 被5、7整除,而被3除余1的最小正整数是70。 因此,被3、5整除,而被7除余2的最小正整数是 15×2=30; 被3、7整除,而被5除余3的最小正整数是 21×3=63; 被5、7整除,而被3除余2的最小正整数是 70×2=140。 于是和数15×2+21×3+70×2,必具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。但所得结果233(30+63+140=233)不一定是满足上述性质的最小正整数,故从它中减去3、5、7的最小公倍数105的若干倍,直至差小于105为止,即 233-1o5-105=23。所以23就是被3除余2,被5除余3,被7除余2的最小正整数。 我国古算书中给出的上述四句歌诀,实际上是特殊情况下给出了一次同余式组解的定理。在1247年,秦九韶著《数书九章》,首创“大衍求一术”,给出了一次同余式组的一般求解方法。在欧洲,直到18世纪,欧拉、拉格朗日(lagrange,1736~1813,法国数学家)等,都曾对一次同余式问题进行过研究;德国数学家高斯,在1801年出版的《算术探究》中,才明确地写出了一次同余式组的求解定理。当《孙子算经》中的“物不知数”问题解法于1852年经英国传教士伟烈亚力(wylie alexander,1815~1887)传到欧洲后,1874年德国人马提生(matthiessen,1830~1906)指出孙子的解法符合高斯的求解定理。从而在西方数学著作中就将一次同余式组的求解定理称誉为“中国剩余定理”。 |
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