undefined平面向量高考试题精选(一)

一．选择题（共14小题）

1．（2015·河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．（2015·福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）

A．13 B．15 C．19 D．21

3．（2015·四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（　　）

A．20 B．15 C．9 D．6

4．（2015·安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（　　）

A．||=1 B．⊥ C．·=1 D．（4+）⊥

5．（2015·陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）²=||² D．（）·（）=²﹣²

6．（2015·重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（　　）

A． B． C． D．π

7．（2015·重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（　　）

A． B． C． D．

8．（2014·湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）

A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]

9．（2014·桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（　　）

A．2 B． C． D．1

10．（2014·天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若·=1，·=﹣，则λ+μ=（　　）

A． B． C． D．

11．（2014·安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若·+·+·+·所有可能取值中的最小值为4||²，则与的夹角为（　　）

A． B． C． D．0

12．（2014·四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

13．（2014·新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）

A． B． C． D．

14．（2014·福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（　　）

A． B．2 C．3 D．4

二．选择题（共8小题）

15．（2013·浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于　　　　　　．

16．（2013·北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　　　　　　．

17．（2012·湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=　　　　　　．

 

18．（2012·北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　　　　　　．

19．（2011·天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为　　　　　　．

20．（2010·浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是　　　　　　．

21．（2010·天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=　　　　　　．

 

22．（2009·天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=　　　　　　．

三．选择题（共2小题）

23．（2012·上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．

（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；

（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；

（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）²+y²=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

24．（2007·四川）设F₁、F₂分别是椭圆=1的左、右焦点．

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

平面向量高考试题精选(一)

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．（2015·河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）

A． B．

C． D．

解：由已知得到如图

由===；

故选：A．

 

2．（2015·福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（　　）

A．13 B．15 C．19 D．21

解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得A（0，0），B（，0），C（0，t），

∵，∴P（1，4），

∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），

∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），

由基本不等式可得+4t≥2=4，

∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，

当且仅当=4t即t=时取等号，

∴的最大值为13，

故选：A．

 

3．（2015·四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（　　）

A．20 B．15 C．9 D．6

解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，

∴根据图形可得：=+=，

==，

∴=，

∵=·（）=²﹣，

²=²²，

=²²，

||=6，||=4，

∴=²²=12﹣3=9

故选：C

 

4．（2015·安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（　　）

A．||=1 B．⊥ C．·=1 D．（4+）⊥

解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，

所以，，

所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，

4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；

故选D．

5．（2015·陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（　　）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）²=||² D．（）·（）=²﹣²

解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，

又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；

选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；

选项C正确，由向量数量积的运算可得（）²=||²；

选项D正确，由向量数量积的运算可得（）·（）=²﹣²．

故选：B

6．（2015·重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（　　）

A． B． C． D．π

解：∵（﹣）⊥（3+2），

∴（﹣）·（3+2）=0，

即3²﹣2²﹣·=0，

即·=3²﹣2²=²，

∴cos＜，＞===，

即＜，＞=，

故选：A

7．（2015·重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（　　）

A． B． C． D．

解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，

所以·（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；

故选C．

8．（2014·湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（　　）

A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1]

】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），

∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．

又A（﹣1，0），B（0，），

∴++=．

∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴=sin（θ+φ）≤=，

∴|++|的取值范围是．

故选：D．

9．（2014·桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（　　）

A．2 B． C． D．1

解：∵，

∴的夹角为120°，

设，则；=

如图所示

则∠AOB=120°；∠ACB=60°

∴∠AOB+∠ACB=180°

∴A，O，B，C四点共圆

∵

∴

∴

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=

当OC为直径时，模最大，最大为2

故选A

 

10．（2014·天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若·=1，·=﹣，则λ+μ=（　　）

A． B． C． D．

解：由题意可得若·=（+）·（+）=+++

=2×2×cos120°++λ·+λ·μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，

∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．

·=﹣·（﹣）==（1﹣λ）·（1﹣μ）=（1﹣λ）·（1﹣μ）

=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，

即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．

由①②求得λ+μ=，

故答案为：．

 

11．（2014·安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若·+·+·+·所有可能取值中的最小值为4||²，则与的夹角为（　　）

A． B． C． D．0

解：由题意，设与的夹角为α，

分类讨论可得

①·+·+·+·=·+·+·+·=10||²，不满足

②·+·+·+·=·+·+·+·=5||²+4||²cosα，不满足；

③·+·+·+·=4·=8||²cosα=4||²，满足题意，此时cosα=

∴与的夹角为．

故选：B．

12．（2014·四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

解：∵向量=（1，2），=（4，2），

∴=m+=（m+4，2m+2），

又∵与的夹角等于与的夹角，

∴=，

∴=，

∴=，

解得m=2，

故选：D

13．（2014·新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，

∴+=（+）+（+）=+=（+）=，

故选：A

 

14．（2014·福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（　　）

A． B．2 C．3 D．4

解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，

∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4

故选：D．

 

二．选择题（共8小题）

15．（2013·浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于　2　．

解：∵、 为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．

∵非零向量=x+y，∴||===，

∴====，

故当=﹣时，取得最大值为2，

故答案为 2．

16．（2013·北京）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　3　．

解：设P的坐标为（x，y），则

=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，

∴，解之得

∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部

其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）

∵|CF|==，

点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==

∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3

故答案为：3

 

17．（2012·湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=　18　．

 

【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO

∵AP⊥BD，AP=3，

在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3

∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，

由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18

故答案为：18

 

18．（2012·北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　1　．

【解答】解：因为====1．

故答案为：1

 

19．（2011·天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为　5　．

解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）

设P（0，b）（0≤b≤a）

则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），

∴=（5，3a﹣4b）

∴=≥5．

故答案为5．

 

20．（2010·浙江）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值范围是　（0，]　．

解：令用=、=，如下图所示：

则由=，

又∵与的夹角为120°，

∴∠ABC=60°

又由AC=

由正弦定理得：

||=≤

∴||∈（0，]

故||的取值范围是（0，]

故答案：（0，]

 

21．（2010·天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=　　．

 

【解答】解：，

∵，

∴，

∵，

∴cos∠DAC=sin∠BAC，

，

在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，

，

=|BC|sinB==，

故答案为．

22．（2009·天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=　﹣2　．

解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，

∴，，

∵=+=，

∴M，

∴，，

=（，）·（，）=﹣2．

故答案为：﹣2．

三．选择题（共2小题）

23．（2012·上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．

（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；

（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；

（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）²+y²=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x₀的取值范围．

【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，

其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．

（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx

=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx

=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx

∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．

则||==．

（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），

其中cosφ=，sinφ=．

当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x₀=2kπ+﹣φ，k∈Z．

∴tanx₀=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，

tan2x₀===．

为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．

令m=，则tan2x₀=，m∈[﹣，0）∪（0，}．

当﹣≤m＜0时，函数tan2x₀=单调递减，∴0＜tan2x₀≤；

当0＜m≤时，函数tan2x₀=单调递减，∴﹣≤tan2x₀＜0．

综上所述，tan2x₀∈[﹣，0）∪（0，]．

24．（2007·四川）设F₁、F₂分别是椭圆=1的左、右焦点．

（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；

（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．

∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．

则，又，

联立，解得，．

（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

联立

∴，

由△=（16k）²﹣4·（1+4k²）·12＞016k²﹣3（1+4k²）＞0，4k²﹣3＞0，得．①

又∠AOB为锐角，

∴

又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4

∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4

=

=

=

∴．②

综①②可知，

∴k的取值范围是．