一道二次函数与二次方程简单综合题

2019年武汉市中考第15题：

抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)²＋c＝b－bx的解是___________.

分析：本题是二次函数与二次方程同台共舞的简单综合题，考查的是两者之间的关系及其运用，问题解决的关键是寻找、发现方程式与函数式之间的关系。

解法一：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，

所以9a-3b+c=0………（1）

16a+4b+c=0…………（2）

（1）-（2），得

-7a-7b=0，b=-a；

把b=-a代入（1），得：

c=-12a，

所以一元二次方程a(x－1)²＋c＝b－bx可化为：

a(x－1)²-12a＝-a+ax,

因为a≠0，两边除以a，得：

(x－1)²-12＝-1+x，

整理，得(x－1)²-(x-1)-12＝0，

所以(x-1-4)(x-1+3)=0，

即(x+2)(x-5)=0，

所以x₁=-2，x₂=5，

所以答案为：x₁=-2，x₂=5。

解法二：首先，由抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、B两点可知抛物线解析式可化为：

y＝a(x+3)(x-4)

即y= ax²-ax-12a，

所以ax²＋bx＋c=ax²-ax-12a，

比较系数，得：

b=-a，c=-12a，

下同解法一。

解法三：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，

所以方程ax²＋bx＋c=0的两根为x₁=-3，x₂=4。

把一元二次方程a(x-1)²＋c＝b-bx化为与方程ax²＋bx＋c=0相同的一般形式，得：

a(x-1)²＋+bx-b+c＝0，

即a(x-1)²＋b(x-1)+c=0，

显然，方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的根x-1等于方程ax²＋bx+c=0的根x，

即方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的两根分别是方程ax²＋bx+c=0的两根加1，

所以方程a(x-1)²＋b(x-1)+c=0的两根为x₁=-3+1=-2，x₂=4+1=5，所以答案为：x₁=-2，x₂=5。

上述解法一、二是常规的解题思路，其解法当然是无可厚非的，但在时间有限的考场上运用这两种解法显然是浪费了不少宝贵时间，大有得不偿失之嫌。解法三十分巧妙，既省时又可以保证准确性万无一失，其解法源自对题目的细致观察和缜密思考。