四边形综合题，关键是基础，举一反三

四边形的综合题，实际上是三角形问题的综合，是检验基础知识的灵活运用能力，对于初一初二基础知识点把握不牢固，理解不透彻，到初三甚至中考时，就会比较吃力，下面就初三第一单元的一个四边形问题的解题思路和过程来说明一下基础知识的重要性。

例

如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.

(1)证明：PC=PE

(2)求∠CPE的度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由。

考点：

四边形综合题，考查知识点：等边对等角，三角形的全等判定，角的度数和关系等

分析：

（1）欲证明PC=PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；

（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；

（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA=PC，∠BAP=∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC=CE，即可解决问题；

解答：

(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，

⎧AB=BC

⎪∠ABP=∠CBP

⎨PB=PB

∴△ABP≌△CBP(SAS)

，∴PA=PC

，∵PA=PE

，∴PC=PE；

(2)由(1)知,△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，

∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，

即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，

⎧AB=BC

⎨∠ABP=∠CBP

⎪PB=PB，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，

∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，

∴PC=PE，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠E，

∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD，

∴∠CPF=∠EDF

∵∠ABC=∠ADC=120°，

∴∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC=CE，

∴AP=CE.

希望同学们能够做到会做一道题，达到会做一类题，学会总结。