数与代数之整数

一．概念描述

现代数学：整数是数系中最基本的一种数，即正整数、零、负整数的统称。自然数都是整数，但整数不一定都是自然数。

小学数学：2005年北京版教材第12册第66页没有给出明确的定义，主要是通过直接给出名称的形式出现的。2006年人教版六年级下册第77页提出：像“…，-3，-2，-1,0，1，2，3，…”这样的数统称整数。整数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。“1”是自然数的单位。

二．概念解读

我们以0为界限，将整数分为三大类：

①　正整数，即大于0的整数，如1，2，3，...，n；

②　0，既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数；

③　负整数，即小于0的整数，如-1，-2，-3，...，n；

正整数：它是古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或“五个人，六个人”抽象成正整数的过程是相当自然的。

0：不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。我国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，这样虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。

负整数：我国最早引进了负数。《九章算术·方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a-b =c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

三．教学建议

整数的认识教学主要集中在第一学段----万以内数的认识。第二学段是系统梳理十进制计数法和万以上的数。学生认识数从“个”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示、数位、各个数位上数字所表示的值等。

万以内数的认识分为几个阶段来安排，较为普遍的安排方式是：20以内数的认识→百以内数的认识→万以内数的认识。在这几个阶段中，“20以内数的认识”是一个重点内容。

（1）能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置

“20以内数的认识”是学生认数、读数、写数的重要阶段，几乎涉及所有的整数认识中的要素，如数的抽象、数字的表示与书写、数位与相应的数值等。“百以内数的认识”是数概念的进一步扩展，即运用数的意义的基本要素，认识较大的数，从而进一步巩固和运用数值、数位等概念，了解数的顺序和大小关系。这部分内容的教学重点在于使学生从数量抽象到数。如从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象为“2”这个数。用—个数字（特殊的符号）来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，这个“2”可以表示任何具有2这样数量特征的事物。这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。这样，学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。而自然数的基本特征是后一个数比前一个大1，从具体的数量抽象出数后，学生可能通过自然数的这一特征认识更大的数----2后面加1就是3，再加1就是4。在这个过程中，学生很自然地理解自然数的大小关系。

（2）理解各数位上的数字表示的意义

为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。教师可以让学生清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而理解十进制记数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解个级上的每个数字的意义，是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。

（3）知道用算盘可以表示多位数

这是2011版《课标》新增加的内容，增加这一要求主要考虑我国文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建议。在学习整数时，教师让学生“知道用算盘可以表示多位数”，有利于学生对多位数的认识，也能使学生进一步了解中国传统文化。

（4）理解符号“<”、“=”、“>”的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小

数与数之间最重要的是大小关系，数的大小关系包括大于、小于和等于。让学生了解数和数之间的关系，就是让学生可以用自然语言描述，也可以用符号语言描述，而用符号语言描述具有一定的抽象性，是培养学生的符号意识的开始。用关系符号“>”、“=”或“<”表述的是数量间的大小关系，学生在完成这个问题的过程中，需要理解符号的

含义，并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感和符号意识。

（5）感受万以上数（俗称“大数”）的意义和对大数进行估计

教师可以通过具体的情境让学生对大数加以感受，增加学生的数感。感受大数与情境的具体内容有关，学生可以通过实际操作和观察，有时还要加入想象的成分，对大数有切身的感受。而在对大数进行估计的时候，选择合适的单位很重要----教室到学校体育馆有多远，就应当选用米做单位；而从家到学校有多远，就要选择千米做单位；太阳到地球的距离就要用光年做单位。