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综合评价是数学建模中的一类常见的问题，在国赛和美赛中都经常出现，例如国赛05年长江水质的综合评价、2010年上海世博会影响力的定量评估问题、2014年美赛“最好大学教练“问题、2015年的“互联网+”时代的出租车资源配等，这些都属于综合评价类问题。 综合评价问题是数学建模问题中思路相对清晰的一类题目，从每学期的综合测评、旅游景点的选择到挑选手机，评价类问题在生活中也是处处存在。 今天小编和大家一起梳理一下综合评价类问题的一般思路。 首先，综合评价模型一般步骤为： 1. 明确评价目的； 2. 确定被评价对象； 3. 建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）； 4. 确定与各项评价指标相对应的权重系数； 5. 选择或构造综合评价模型； 6. 计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。 1. 选择恰当的评价指标 选取合理的评价指标是综合评价问题的第一步，要考虑四个准则——代表性、确定性、独立性、区别能力。
当建模过程中需要确定评价指标时，我们首先要将赛题中给出的指标考虑进来，然后再从不同维度确定评价指标，这个时候我们应该大量查阅相关文献，看看类似问题前人都选取了哪些指标，在全面考虑问题的基础上，尽可能选择被广泛利用的指标。 例如在05年国赛题目《长江水质的综合评价》中，题目中给出了评价水环境的指标：溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮、PH值四项指标；例如当我们选择一个旅游景点时，可能选取的指标有景色、费用、居住环境、饮食、旅途等指标。 2. 评价指标的规范化处理 在我们选取的众多评价指标中，有些指标数值越大越好（“极大型”指标），有些指标越小越好（“极小型”指标），有些指标是在一定范围内（“区间型”指标）。
举个小例子吧，比如我们在期末进行综合测评时，评价指标中有学习成绩、缺课率等，学习成绩这项指标是取值越大越好，是极大型指标，学习成绩越高，综合测评得分相应越高；缺课率这项指标是越小越好，是极小型指标，缺课率越高，综合测评得分越低。 因此，我们需要对指标进行一致化处理，将所有的指标转化为极大型指标或者极小型指标。 2.1 指标一致化处理 下面，我们将给出将极小型指标、中间型指标、区间型指标极大化的方法，通过一致化处理后，所有指标化为极大化的指标。 (1) 极小型指标 对于某个极小型指标 x，则通过变换，或变换，其中M为指标 x 的可能取值的最大值，即可将指标极大化。 (2) 中间型指标 对于某个中间型指标 x，则通过变换 其中 M 和 m 分别为指标的可能取值的最大值和最小值，即可将中间型指标 x 极大化。 (3) 区间型指标 对于某个区间型指标，则通过变换 其中 [a,b] 为指标的最佳稳定的区间，c=max{a-m,M-b}，M 和 m 分别为指标 x 的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型指标极大化。 进行指标的一致化处理以后，各项指标都化为了越大越好的极大型指标，但是还有一个问题是，不同的指标单位和数量级不同，可能会出现“大数吃小数”的情况，因此我们需要对这些指标数据进行无量纲化处理。 2.2 指标无量纲化处理 无量纲化处理又称为指标数据的标准化，或规范化处理。常用方法有标准差法、极值差法和功效系数法等。 假设 m 个已经进行一致化处理的评价指标
并都有 n 组样本观测值
现在将其作无量纲化处理， (1) 标准差方法 (2) 极值差方法 (3) 功效系数法 其中 c,d 均为确定的常数。c 表示“平移量”，d 表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则 譬如若取c=60,d=40,则 3. 确定各评价指标的权重 一般指标权重的确定分为两种：主观定权法和客观定权法。常用的主观定权法包括层次分析法、模糊综合评价法等；常用的客观定权法包括变异系数法、主成分分析和因子分析法、熵值法等，综合评价模型可以参考之前的推文——层次分析法告诉你如何选择一部手机，后续我们会专门介绍指标权重的确定方法。 4. 综合评价模型 (1) 线性加权法 用线性加权函数
作为综合评价模型，对 n 个系统进行综合评价。 线性加权综合法的适用条件为各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。 (2) 非线性加权法 用非线性函数
作为综合评价模型，对 n 个系统进行综合评价。其中 非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。 |
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是无量纲的指标。
