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今天，数学世界为大家讲解一道初中数学几何题，此题的图形比较复杂，对数学基础一般的学生来说，难度还是不小。请大家先思考一下，再看后面的解析过程！也许有些人认为这道题很简单，但是每个人的基础不同，而且学生要学的就是解题思路和思考过程！ 例题：（初中数学几何题）如图，已知在△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE^2=EG·EH．  此题给出的条件很多，图形也比较复杂，许多学生看到图形就头疼，完全不知道从哪里开始入手。实际上，对于掌握知识比较全面的学生来说，这道题并没有多大难度。解决此题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质。下面，我们就一起来分析这道例题吧！ 解析：我们从求证的结论DE^2=EG·EH可以看出，它可以变形成为比例式，所以立刻就可以想到要通过相似三角形来达到目的。下面开始证明此题。 证明：∵AD为BC边上的高，DE⊥AB， ∴∠ADB=∠DEB=∠DEB=90°，（通过垂直得到三个角相等） ∴∠ABD+∠BAD=∠EBD+∠BDE， 即∠EAD=∠BDE，（通过角的等式推出有关的角相等） 在△ADE和△DBE中， ∵∠EAD=∠BDE，∠AED=∠DEB， ∴△ADE∽△DBE，（这样利用所得条件证明了三角形相似） ∴DE/AE=BE/DE，即DE^2=AE·BE①，（由三角形相似得出线段乘积式） ∵BF分别为AC边上的高，DE⊥AB， ∴∠DEB=∠DEA=∠GFH=90°， ∴∠EBG=∠EHA，（证明过程同上，此处省略） 在△EBG和△EHA中， ∵∠GEB=∠AEH，∠EBG=∠EHA， ∴△EBG∽△EHA，（此处第二次证明相似，并得出另一个线段乘积式） ∴AE/EG=EH/EB，即EG·EH=AE·EB②， 由①②可得，DE^2=EG·EH．（证毕）（利用等量代换得到最后的结论） |
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