微分方程理论有什么意义？

经常要接触微分方程的苦逼博士来回答一下这个问题！

什么叫微分方程？非常严谨的定义大家可以翻教科书，但是我说一下我的理解。所谓的微分方程就是我们不仅仅在方程中需要考虑未知数的大小，还要考虑未知数的变化。

比如说，我们用一个方程描述一辆汽车在一条笔直的公路上的运动，如果这个方程中只有距离x这一个未知数，那么这就不是一个微分方程；但是如果一个方程中既有路程x，又有路程的变化率（也就是速度），那么方程就变成了微分方程。

所以相比普通方程，我们会在微分方程里面看到dx/dt，或者∂x/∂t这样的符号，实际上就是在说未知数x的变化率。

为什么微分方程在科学中这么重要？

之所以我们在科学中这么需要微分方程，本质上是因为人类掌握的都是物体的局部规律，所以需要微分方程来描述这种局部规律，然后由局部规律反推整个物体。

比如说我们要算一个物体在受力情况下内部应力的分布情况【比如说下图的这个机翼】。因为物体的形状是千奇百怪的，我们不可能一眼就看出来这个物体内部的力是怎么分布的，所以只能够建立一个描述物体某个局部特征的方程。

因此，我们写下的方程不是一个描述整个物体应力分布的方程，而是物体局部性质的方程。这个方程对于这个物体内部的每一个点都是适用的，所以我们建立起来的是每个点的平衡关系。在科学概念里面，我们往往为了表述方便，把这个点描述成所谓的“微元体”【如下图所示】。

而描述微元体的时候我们不仅仅需要知道物理量的绝对值，还需要知道这个物理量的变化趋势，因为这个微元体不是孤立的，它还需要跟旁边的微元体建立联系，而这个变化率实际上就是在建立这些点与周围点之间的联系。

所以微分方程就是描述一个庞大物体的局部特征的关键工具，通过求解这个微分方程我们就可以从物体的局部性质反推到整个庞大物体的全部性质。

“微分”我理解其中的意思就是“微而分之”，微分方程的意义就是描述局部，通过求解微分方程架起局部和整体之间的桥梁。再复杂的微分方程实际上都是专注于一个点而已。