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1、直角三角形各重要边长辨析题组 1)直角三角形两边长为3，4，求斜边长______ 2)直角三角形两边长为3，4，求第三边长的平方______ 3)直角三角形两边长为3，4，求斜边上的中线长______ 4)直角三角形两直角边长为3，4，求斜边上的高长______ 分析： 如果看到题目中说的是直角三角形“两边长”就要注意了，其中给出的较长的边，既可能作直角边，也可能做斜边，很多时候就会有两解． 解答： 1) 4或5 2) 4²－3²＝7，4²＋3²＝25，7或25 3) 2或2.5 (直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，斜边可以为4，也可以为5) 4) 2.4 (利用面积法，直角边×直角边＝斜边×斜边上的高) 2、三角形内外心辨析 1)到三角形三个顶点距离相等的点是( ) ，到三角形三边距离相等的点是( ) A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 分析与解答： 到三个顶点距离相等，即到各边的两个端点距离相等，想到中垂线． 到三边距离相等，即到每个内角的两边距离相等，想到角平分线． 选D，A 补充： 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外接圆的圆心． 三条角平分线的交点是三角形的内心，内切圆的圆心． 2)若点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，∠A＝70°，则∠BOC的度数为______． 分析与解答： 点O为角平分线交点，利用结论，“三角形两内角平分线夹角等于90度加第三角的一半”，则∠BOC＝90°＋35°＝125° 3、手拉手模型再过关 1)如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BCE＝39°， 那么∠CAD＝______°． 分析与解答： 手拉手模型需满足等线段，共顶点. 这里的△ABC和△DBE是共顶点A的双等边三角形， 则不难得到△EBC≌△DBA， ∠BCE＝BAD＝39°， ∠CAD＝60°－∠BAD＝21° 2）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____° 分析与解答： 不难得到这是共顶点A的双等腰三角形， △ABD≌△ACE， ∠ABD＝∠2＝30°， ∠3＝∠1＋∠ABD＝55° 4、斜边中线相关题型反复练 1)陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图） （2）作AC的中点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B； 分析： 本题只需证明∠ABC＝90°，由作圆可得OA＝OB＝OC，因此，转化为证“一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条中线的一半，那么这个三角形是直角三角形”． 解答： 在△ABC中， ∵OA＝OB，∴∠1＝∠2， ∵OB＝OC，∴∠3＝∠4， ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°，AB⊥BC 2) 变式（原创题）：如图，直角△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，若在直线AC上有点P满足AP＝BP，有点D满足AB⊥BD （1）求AP的长，AD的长． （2）不通过计算，证明AD＝2AP 分析： 1）显然，求AP长，即为求BP长，放在Rt△BPC中，用勾股定理建立方程．要求AD长，只能放在Rt△ABD中，设为未知数后，可表示BD边的平方，在Rt△BCD中，同样也可表示BD边的平方，用勾股定理建立方程． 2）即证AP＝PD＝PB，最终只需证BP＝PD． 解答： 解答： 2） ∵AP＝BP，∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠3＝90°， ∠2＋∠PBD＝90°， ∴∠3＝∠PBD，PB＝PD， ∴AP＝PD，AD＝2AP． 3)变式：如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，EF∥ BC，CM＝5，求EF的长． 分析： 先根据“邻补角的角平分线互相垂直”，证明∠ECF＝90°，再根据基本模型“平行线＋角平分线，构造 等腰三角形”，证明EM＝MC＝MF，则EF可求． 解答： ∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2 ∵CF平分∠ACD，∴∠3＝∠4 ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180° ∴∠ECF＝∠2＋∠3＝90° ∵EF∥ BC ∴∠1＝∠5，∠4＝∠6 ∴∠5＝∠2，EM＝MC ∠6＝∠3，FM＝MC ∴EF＝2MC＝10 5、典型易错多解题大网罗 1)如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8，BC＝3， P、Q两点分别在线段AC和射线AM上运动，且PQ＝AB．当AP＝_____ 时，△ABC与△PQA全等． 分析与解答： 由于没有出现全等符号，因此需要分类讨论，这里已经有∠BCA＝∠PAQ＝90°，则点C与点A对应，只可能是△BCA≌△PAQ，则PA＝BC＝3，或者△BCA≌△QAP，则PA＝AC＝8，综上，AP＝3或8 2)已知等腰△ABC周长为8，AB＝3，求BC＝_______． 分析与解答： 这里要对AB的位置进行讨论，可以为底边，也可以为腰，BC亦然． 综上，BC＝2或3或2.5 3)△ABC中，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，AD＝8，求BC的长． 分析： 因为△ABC的各边中，BC边的长度未知，因此三角形的形状不能确定，而AD作为高，可能在形内，可能在形外，因此需分类讨论． 我们可以先求出BD，再求BC． 解答： 如图， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD＝8，∴BD＝15 在Rt△ACD中，AC＝10，AD＝8，∴CD＝6 若AD在形内，BC2＝BD＋C2D＝15＋6＝21 若AD在形外，BC1＝BD－C1D＝15－6＝9 附：八年级上册，期中考试前所有内容： 八上第一讲 全等证明格式易错分析（附“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题） END |
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