赏析-特殊三角形之顶角100度的等腰三角形2

已知：如图1所示，在等腰三角形ABC中，延长边BC到D，延长边CA到E，联结DE，有BA=BD=DE=EC。求∠ACB。

图1

我们来赏析这道经典的平面几何难题。

先做分析。

1）目标是求角，这个角在等腰三角形中，已知一个等腰三角形及四条线段相等。

2）先确定在等腰ΔABC中，哪两条边是腰。显然AB不可能是腰，因此腰是CA、CB。

3）BA=BD=DE=EC，这4条线段相等！而且我们很容易发现DC=EA，ΔCDE是等腰三角形。我们标出已知的两个等腰三角形中的角（如图2），并用∠ACB表示：设∠ACB = x，则∠2 = 90°-x/2，∠3 = ∠4 = 180°-x ，∠5 = 2x-180°。

图2

3）这么多的线段相等，自然想到菱形、等边三角形、等腰三角形。我们已经用了DE=EC，还有BA=AD=DE没有使用，然而没有现成的菱形或等边三角形或更多的等腰三角形，必然要适当添加辅助线，集中或关联这些线段，以构造出它们。

4）过哪个点作辅助线呢？当然首选能最多地关联这些相等线段的点，具体来说就是D、E。结合我们的目标，选择点D。

5）联结DA、EB吗？这样（如图3）确实得到两个等腰三角形，但由此产生的角，特别是ΔDAB的内角，与标出的既有角之间的数量关系不明显，感觉产生的收益不够，需要构造有更多特殊性质的图形：菱形或等边三角形。

图3

6）过点D作DF//=AB使点F、B位于DA的两侧，联结FA；如图4，显然四边形ABDF是菱形。我们把更多的关注点转移到开辟的F点相关的新战场。

图4

7）观察，注意到DF=DE以及FA与DE造成的缺口，联结FE，如图5，感觉：ΔDEF是等边三角形，而且组成∠DFE的∠DFA=∠ABC，而∠AFE所在的三角形似乎与ΔCED全等。

图5

8）注意到AE=CD，∠FAE=∠ECD(FA//DB，同位角相等)，AF=CE ⇒ ΔAFE≌ΔCED(SAS) ⇒FE=ED，∠AFE=∠CED ⇒ ΔDEF是等边三角形。

9）于是得方程(90°-x/2)+(2x - 180°)=60°，解得x=100°。

点评：以上解法中，有一些尝试、比较和选择决策甚至直觉，经过适当的思维素质训练可望轻松应对此类问题。

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