数学与科学的关系

很多人有一个误区，认为数学是在揭示一些放之四海皆准的普遍真理，例如“三角形内角和一百八”。其实不然，数学其实是一个由前提假设得到结论的这么一个过程，其实可以更简要地归纳为一个命题“ A→B ”。比如“三角形内角和一百八”其实就是B，而我们忽略了前提假设A：在欧式平面中，也就是我们常说的“公理”或“公设”。

一个数学命题其实谈不上是不是真理，因为数学本身并不是A或者B，而是A推演到B的那个箭头→。箭头才是真正的数学，也就是“逻辑演绎”本身。研究弯曲空间的“黎曼几何”中，三角形内角和不再是一百八，是因为前提假设A不再是二维欧式平面。A→B，A’→B’，数学其实就是这个箭头，也就是逻辑演绎本身。脱离前提假设地谈论B对还是B’对是没有任何意义的。

科学领域同样存在着大量的命题，虽然科学研究也运用了数学方法和结论，但是科学并不像数学那样“本身没有对错”，任何一个科学命题是可以非常清晰地评价是对还是错，或者是在多大可信程度上是一个真命题。因为科学有唯一的评判标准—— 真实世界的现象。如果用刚才的话说，那么科学结论就是一个个的命题A、B、C。你可以具体地探讨每一个命题是否为真，标准就是真实世界。也许A是真，你可以通过数学（也就是箭头）得到逻辑演绎后的B结论，那么在科学系统中，B结论的真实度和A结论一样，因为数学推演本身是高度严密的。

科学最大的特点就是“可证伪性”，亦即可以用明确的实验来证否。并且有趣的是证明一个科学理论的错误不一定要用具体的实验，用“思想实验”也可以证否之。例如早先伽利略证明亚里士多德“质量越大加速越快”的引力理论是错的，用的就是理想实验的方法，兵不血刃就推翻了它。而近代量子力学发展中也是通过理想实验（Bell不等式）来否定了“隐参数理论”。

社会科学也是科学的一部分，因为沿用的是同样的标准和推理，只是因为描述工具和参数更多，导致研究起来很不容易，但本身也是科学。它和物理化学生物等传统意义上的科学研究对象不同罢了，方法论和可证伪性是一样的。

而数学没有这种“可证伪性”，它不需要证伪，因为它就是“逻辑推演”本身。也正因为数学是逻辑演绎，所以数学先天地要求基础公设本身不能有逻辑不自洽性，否则连之前说的那个A→B的箭头，都无法完成。而数学中用到的“反证法”本身就是逻辑演绎的一种方法，并不意味着数学“可以证伪”。

如果非要用更精炼的语言区分数学与科学的话，那么无疑这一句是最出彩的：

科学研究的是我们的宇宙，而数学研究的是某一个宇宙。