第5讲双曲线的简单几何性质
【知识梳理】
一、双曲线的标准方程及几何性质：
标准方程 图形 范围 或 或 对称性 对称轴：轴、轴，对称中心：原点 离心离 ， 顶点 焦点 实轴、虚轴 实轴长，虚轴长 等轴双曲线 渐近线 二、直线与双曲线的位置
联立直线方程与双曲线方程，相切：△=0；相交：△>0；相离：△<0
相交弦长（设交点为A、B）：
三、中点弦问题（点差法）
设直线与双曲线的相交弦为AB，且AB的中点P（）
则直线的斜率
【经典题型】
题型一双曲线的范围、对称性和顶点坐标
例1.求以椭圆的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
变式训练一
1.求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
2.已知双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程．
题型二、双曲线的渐近线
要点点拨：
(1)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离即为b;
(2)与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）顶点间距离为6，渐近线方程为；
（2）与双曲线有公共渐近线，且过点M（2，-2）
变式训练二
1.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为（）
A.B.C.D.
2.已知中心在原点的双曲线的焦点为、，渐近线方程为，求此双曲线方程。
题型三双曲线的离心率
要点点拨：，，越大，开口越大
例3.求是和下列条件的双曲线的离心率
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成的角为90°
例4.如图，、分别是双曲线的两个焦点，点A和点B是以O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，
则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
例5.已知双曲线的焦距为，直线过点（，0）和（0，），且点（1，0）到直线的距离与点（-1，0）到直线的距离之和，求双曲线的离心率的取值范围；
变式训练三
1.已知、是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A.B.C.D.
2.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为。
3.设双曲线C的中心为O，若有且只有一对相交于点O，所成角为60°的直线和使，其中，和，分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A.B.C.D.
题型四直线与双曲线的位置
例6.如果直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．
引申：（1）如果直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围．
（2）如果直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围．
（3）如果直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围．
（4）如果直线与双曲线两支各有一个交点，求k的取值范围．
例7.已知直线与双曲线有ＡＢ为直径的圆恰好过原点Ｏ的值；
（2）是否存在的值，使得两个不同交点ＡＢ对称.
变式训练四
1.已知点A（，0）、B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求DE的长。
2.已知双曲线(a>0,b>0)的离心率e=，过点A(0,―b)和B(a,0)的直线与原点间的距离是.（1）这双曲线的方程；
（2）直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值。
3.已知双曲线，过点M（8，1）的直线与之交于A、B两点，M是AB的中点，求直线AB的方程。
【经典练习】
1．双曲线的顶点坐标是（）．
A．B．C．D．（）
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线方程（）
A.B.
C.或D.以上都不对），且渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（）
A.B.C.D.
4.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）
A.B.C.D.
5.已知、是双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点A，使=90°，且，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
6.经过双曲线的右焦点F作该双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线相较于M,N两点，若O是坐标原点，△OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（）
A.2B.C.D.
7.斜率为2的直线过双曲线C：的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）
A.B.（1，）C.（1，）D.（，+）
8．已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若，则C的离心率为（）
A.B.C.2D.5
9.经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．
10.双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于
11.已知双曲线的离心率为，则
12.设F是双曲线C:的一个焦点.C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为
13.已知过双曲线的右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是
14.已知双曲线，求过定点A（2，1）的弦的中点P的轨迹方程.
15.双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点，若
OP⊥OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程。
【巩固训练】
1.点P在双曲线上，、是双曲线的两个焦点，，且△的三边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）
A.B.C.2D.5
2.直线y=x―1被双曲线2x2―y2=3所截得的弦的中点坐标是（）
（A）(1,2)（B）(―2,―1)（C）(―1,―2)（D）(2,1)
3.已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过点作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M，且，则双曲线C的离心率为
4.若过双曲线的右焦点F2，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是__________．
5.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点。过F且垂直于轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率的取值范围。
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