第24讲相似、投影与视图
【考点总汇】
一、相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角，对应边的比。
性质2：相似三角形周长的比等于。
性质3：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于。
性质4：相似三角形的面积的比等于相似比的。
微拨炉：
1.相似比是有顺序的，应用时要注意顺序。 2.全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。 二、相似三角形的判定
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原相似（相似三角形的预备定理）。
判定2：三边的两个三角形相似。
判定3：两边且的两个三角形相似。
判定4：两角的两个三角形相似。
判定5：一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
微拨炉：
1.判定三角形相似时，边与角的对应关系要准确。 2.判定5只适用于直角三角形。 三、投影和视图的有关概念
1.
2.
微拨炉：
1.确定一个投影是平行投影还是中心投影关键是看光线平行还是相交。 2.画物体的视图时，看不见的轮廓要画成虚线，不能不画。
高频考点1、相似三角形的判定
【范例】在△中，是上的动点（异于），过点的一条直线截△，使截得的三角形与△相似，我们不妨称这条直线为过点的△的相似线。
如图，，，当点在的垂直平分线上时，过点
的△的相似线最多有条。
得分要领：
1.正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解答本题的关键。
2.解答本题应注意分类讨论思想的应用。
3.寻找相似的条件时，要注意公共边，公共角，对顶角等隐含条件。
【考题回放】
1.在△和△中，下列四个命题：
（1）若，则△≌△。
（2）若，则△≌△。
（3）若，则△∽△。
（4）若，则△∽△。
其中真命题的个数为（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.如图，在□中，是上的一点，直线与的延
长线相交于点，∥，且与相交于点，请从图中找
出一组相似的三角形：。
3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△（顶点是网格线的交点）。
（1）将△向上平移3个单位得到△，请画出△。
（2）请画一个格点△，使△∽△，且相似比不为1。
高频考点2、相似三角形的性质
【范例】如图，四边形中，平分，，为的中点，
（1）求证：。
（2）求证：∥。
（3）若，，求的值。
得分要领：
1.将乘积式转化成比例式，利用相似三角形的性质是解答本题的关键。
2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，证边相等，从而得到相应的角相等。
【考题回放】
1.如图，在□中，点是边的中点，交对角线于点，则等于（）
A.3：2B.3：1C.1：1D.1：2
第1题第2题
2.如图，△∽△，相似比为1：2，若，则的长是（）
A.1B.2C.3D.4
3.如图，菱形的对角线cm，把它沿着对角线方向平移1cm得到菱形，则图中阴影部分图形的面积与四边形的面积之比为（）
A.4：3B.3：2C.14：9D.17：9
第3题第4题
4.如图，在△中，两条中线相交于点，则（）
A.1：4B.2：3C.1：3D.1：2
高频考点3、平行投影与中心投影
【范例】如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm。
得分要领：
1.理解投影的含义，幻灯片放映得到的是位似图形。
2.正确画出图形，位似图形一定相似，利用相似图形的性质解决。
【考题回放】
1.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿m，它的影子m，木竿的影子有一部分落在了墙上，m，m，则木竿的长度为m。
高频考点4、三视图
【范例】如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（）
得分要领：
1.在辨别三视图时要注意实线与虚线的区别。
2.由三视图想象实物时，要借助三个视图综合分析、想象，一个方向的视图只能了解物体的部分信息。
【考题回放】
1.图中所示的几何体为圆台，其主（正）视图正确的是（）
2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是（）
3.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）
A.60B.70C.90D.160
第3题第4题
4.如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是。
【巧思妙解】巧用相似三角形
【例题】如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，，垂足分别为，从点测得点的仰角为60，从点测得点的仰角为30，已知甲建筑物的高度m，求甲、乙两建筑物之间的距离和乙建筑物的高度。（结果保留根号）
解：作于点。∵，
∴四边形为矩形，∴m，。
设m，则m，
在Rt△中，，∴，
∴。
∵，∴。
∴，∴Rt△∽Rt△，
∴，即，解得。
∴（m），（m）。
【实战演练】
1.形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如图所示，则其主视图是（）
2.已知△∽△，若△与△的相似比为3：4，则△与△的面积比为（）
A.4：3B.3：4C.16：9D.9：16
3.某几何体的三视图如图，则组成该几何体共用了几个小方块（）
A.6块B.7块C.9块D.12块
第3题第4题
4.如图所示，△中，分别是边上的点，且满足，则△与△的面积比为。
5.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分。①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么④，⑤这两块的面积比是。
第5题第6题
6.如图，直角梯形中，∥，，，，，为上一点，若△与△相似，则。
7.如图，已知△中，，，点在上，。求证：△∽△。
8.如图，分别是锐角△中边上的高线，垂足为。
（1）证明：△∽△。
（2）连接，则△与△能相似吗？说说你的理由。
9.如图，分别是两根木杆及其影子的图形。
（1）哪个图形反应了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？(上图或下图)
（2）请你画出图中表示小树影长的线段。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.如图所示零件的左视图是（）
ABCD
2.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）
A.（3）（1）（4）（2）B.（3）（2）（1）（4）
C.（3）（4）（1）（2）D.（2）（4）（1）（3）
3.如图，路灯距地面8m，身高1.6m的小明从距离灯的底部（点）20m的点处，沿所在的直线行走14m到点时，人影的长度（）
A.增大1.5mB.减小1.5mC.增大3.5mD.减小3.5m
4.如图，正方形的两边分别在平面直角坐标系的轴，轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为（1，2），则正方形与正方形的相似比是（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，在□中，m，m，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，cm，则的长为cm。
第5题第6题
6.由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为。
7.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在的位置
时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5
米，甲的影子是6米，则甲、乙同学相距米。
三、解答题（共26分）
8.（12分）如图，等腰△中，，点分别在上，作。交于。
（1）求证：。
（2）若，，，，求△的面积。
【培优训练】
9.（14分）如图，点在等边△的边上，△为等边三角形，与交于点。
（1）证明：△∽△。
（2）除了△∽△外，请写出图中其他所有的相似三角形。
5
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