初中数学无非代数、几何,几何侧重推导与证明,代数则重在计算,因式分解,就是整个代数计算的灵魂!由于篇幅较长,我们将分4篇来逐一介绍因式分解的方法。 在学完整式乘法之后,接着就会遇到因式分解,通常我们会把两者作一个对比,简单说整式乘法是积化和,比如: 而因式分解是和化积,比如: 两者之间是互逆的关系,整式乘法是关于整式的计算,那因式分解是什么?又为什么要学习因式分解呢? 举个例子,1001这个数有什么性质?它是个奇数?是个四位数?是四位数中最小的奇数?这些都不是重点,1001是7的倍数,是11的倍数,也是13的倍数,因为1001=7×11×13。对于数我们有一个操作叫做分解质因数,这样我们就可以了解这个数的构成,而且任意一个合数都能够分解为质数相乘的结果,可以这么理解:所有的整数都是由质数构成。所以关于质数一直以来都是研究的热门话题,如哥德巴赫猜想、黎曼猜想都是关于质数的内容。 所以为什么要做因式分解?因为分解之后更能了解这个式子,举个例子: 这么看起来可能并不能看出什么,但如果换个形式: 这样我们就明白,哦,原来它就是(x+1)的平方呀! 再比如实用一些,解方程: 这是一个二次的方程,似乎难度上了一个档次,但如果我们把它换个形式: 是不是一眼就能看出答案了?为什么做因式分解?因为我需要更多了解一下这个式子! 既然因式分解是整式乘法的逆运算,不妨从整式乘法中探寻因式分解的方法。整式乘法有一套通用的规则,任意的整式乘法代入这个规则即可得到正确结果。很遗憾因式分解并没有通用的方法,这也正是因式分解难点所在,所以我们不仅要学方法,还要注意什么形式的式子用什么方法。接下来本文将介绍4种基本方法。 提公因式法:最基本的方法 整式乘法中最简单的情况是单项式×单项式=单项式,单项式是不需要分解的,因为其本身就是分解的结果,已经是乘积的形式了。 单项式×多项式呢?举个例子: 反过来 像这样把各个项的公因式提取出来的方法叫提公因式法,是因式分解最基础的一种方法,任何一个式子都可先考虑,有没有公因式可以提! 公因式是什么?数字部分取各项系数最大公约数,字母部分取各项相同字母的最低次幂,比如: 两个重要公式:完全平方公式、平方差公式 接下来该说到多项式×多项式了,在说一般性之前,有两个常用公式: (1)完全平方公式: (2)平方差公式: 这两个就是特殊的多项式×多项式,因为常见,所以叫公式! 另外还有三次的公式: 这里有点不分左右,因为这么写让我觉得更好看些,如果对这四个公式记忆有困难,不妨再理解理解整式乘法的一些规则。 关于次数: 一次式×一次式=二次式 二次式×三次式=五次式 比如: 所以右边每一项都是三次的,而由a和b构成的三次式有: 接下来只需要再记住系数就可以了。 关于项数: 如果不考虑合并同类项的话,单项式×二项式=二项式,二项式×二项式×二项式=八项式。 再看: 各项系数1+3+3+1=8,即合并之前的八项。 从次数和项数两方面来考虑计算的结果或者分解后的因式,会对计算更有帮助。 分组分解法:项数≥4 考虑一般性的多项式×多项式,举个简单的二项式×二项式: 细化一下整式乘法的具体过程: 反之考虑对作因式分解,即可知: 这便是分组分解法。 当遇到的项数≥4的时候,项数太多处理不好怎么办?没关系,先分个组。 分组分解法的关键是合理分组! 比如: 我们可以: 也可以: 但是不能: 因为这么分接下来会发现什么都做不了啊! 所以分组的小组里必然要能分解才行 再比如: 如果分成: 接下来就会发现没法做了。 所以不仅要组内能够分解,两个组之间还要能结合起来才行。 那我怎么知道谁跟谁一组呢?就这几项多试试就试出来了。 (1)4项分组:2项+2项 例题:(提公因式+提公因式) 例题:(平方差+提公因式)
4项分组:3项+1项 例题:(完全平方+完全平方) 两项:提公因式或平方差;三项:提公因式或完全平方公式。 (2)5项分组:2项+3项 例题:(完全平方+提公因式) (3)6项分组:3项+3项 例题:(提公因式+提公因式) 6项分组:2项+2项+2项 例题:(提公因式+提公因式) 6项分组:3项+2项+1项 例题:(公式法+公式法)
十字相乘法:二次三项式 分组分解法其实用得并不多,因为我们以后遇到的代数式计算较多情况下是一元的,比如,怎么对这样的式子作分解呢?先考虑下结果,一个二次式若能分解,必然是一次式×一次式,即结果应该是,所以我们先确定框架,然后再确定这里的系数即可。即a、b、c、d要满足: 这个方程组看起来还有那么点麻烦,所以我们采用如下方法来解,具体的方法称为十字相乘法。 十六字口诀:首尾分解、交叉相乘、求和凑中、试验筛选。 说白了,就是在凑系数,如果一次没凑对,没关系,再接着凑呗。 二次项系数不为1: 系数带字母的: 换一个: 像这种带字母系数的没有什么特别之处,只是要求我们敢于去做。 小结:以上4种方法是因式分解的一些基本方法,理解方法的思路外加勤练习,就能搞定大部分常规问题。当然还有一些看起来反人类的题目,不慌不慌,有的是办法收拾它们。 |
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