基本不等式的应用

[引言]从本周起开始为期二个多月的高中数学线上教研能力培训。本文整理了不等式中一些进阶难度的题目。

[例1]已知a＞0，b＞0，a+b=1。求证：

[证明]由已知，并将1/a和1/b的分子1替换为a+b，有

当且仅当a=b=1/2时取等号。

[例2]x＞y＞0，xy=1。求下式的最小值：

[解析]由已知得，

当且仅当x-y=1，即x=(√5-1)/2,y=(√5+1)/2时取等号。

[例3](改编自江苏高考)已知x＞0，y＞0，1/x+9/y=1。求x+y的最小值。

[解析]由已知得，

当且仅当x=3y，即x=2,y=28/3时取等号。

[变式]已知正实数x、y，求下式的最大值：

[解析]令x+2y=m，2x+y=n，m＞0，n＞0。则有

当且仅当m=n时取等号。

[例4](改编自2017年全国高考II卷17)若a²+c²-√2ac=4，求ac的最大值。

[解析]由已知得，a²+c²=4+√2ac。而a²+c²≥2ac，于是有

当且仅当a=c时取等号。

[变式]若正数x、y满足x+y+xy=8。(1)求x+y的最小值；(2)求xy的最大值。

[答案](1) 4 (2) 4

[例5](2017年天津高考)若a、b∈R，ab＞0，则下式的最小值为：

[解析]由已知得

当且仅当a²=2b²时取等号。

由ab＞0，有

当且仅当ab=1/2时取等号。

取等条件：略。

[例6](改编自2013年全国II卷)设a、b、c均为正数，证明：

[解析]由已知得

移项即得需证。

[例7](2014年全国I卷) 已知a＞0，b＞0，且1/a+1/b=√ab。

(1)求a³+b³的最小值；(2)是否存在a、b，使得2a+3b=6？并说明理由。

[解析](1)由已知得

当且仅当a=b=√2时取等。

当且仅当a=b=√2时取等。

(2)不存在。

当且仅当2a=3b时取等。

由(1)可知，

[后记]本次节选的题目多数根据全国卷等改编，较有难度。另外，2019年全国III卷不等式选讲部分考察的是柯西不等式，另文研讨。