“向量”的前世今生：8位天才数学家，耗时2000年完成

在高中物理教材中，有一个重要的力学实验：

如图，从两个方向一起用力，将弹簧从S点拉至O点，记录此时两个方向的力F1和F2（含方向），再沿SO方向用力拉弹簧也至O点，记录此时的力F。通过简单的几何作图，我们发现力F刚好在由F1、F2构成的平行四边形的对角线上。

力的“平行四边形法则”

物理学把力学元素分成了两类：矢量和标量。这里的力是既有大小又有方向的量，我们称之为矢量，矢量都满足“平行四边形法则”。而像重量等只有大小没有方向的量，我们称之为标量。

矢量的发现由来已久，但由其导出的“平行四边形法则”最早则可追溯到公元前4世纪。古希腊著名科学家亚里士多德（Aristotle，公元前384～前322）在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则，3个世纪以后又被海伦证明。

亚里士多德

当一个物体以一定比率移动时 (即含有两个常数比率的线性运动 ),物体一定沿一直线运动，这条直线是由这两条有给定比率的直线形成的平行四边形的对角线.（亚里士多德《力学》）

OC方向上速度，可分解为OB方向上速度和OA方向上的速度

接着，16世纪的两位著名数学家：史蒂文（Simon Stevin，约1548-1620）和伽利略（Galileo，1564-1642）都在不同场合运用了“平行四边形法则”，而17世纪的英国数学家牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在其数学名著《自然哲学之数学原理》中准确阐述、证明了力的“平行四边形法则”，给出了力的分解、合成方法，为他得整个力学系统的构建起了很大的作用。

伽利略

“当两个力同时作用于一个物体时，这个物体将沿着平行四边形的对角线运动，所需时间等于两个力分别沿两边运动所用的时间之和”《自然哲学之数学原理》（P15）

在认识到了速度与力的“矢量”性质后，数学家开始进一步寻求其他满足该性质的其他力学对象，18世纪，在欧拉、柯西、拉普拉斯、泊松等数学家的努力下，“力矩”和角速度以其同样的“矢量”性质进入人们的视野，因大量的实际应用、及与笛卡尔坐标的有力结合而扎根于物理想学研究中。

速度、力、力矩、角速度这些力学对象具有的“矢量”性质被陆续发现，但是19世纪以前的数学家所研究的“矢量”性质，几乎只有“平行四边形”法则。在接下来的半个世纪里，这个物理法则会因为一项代数的发现，而得到前所未有的补充、拓展和革新。

一、复数与向量

“复数”的发现与16世纪三次方程的求解密不可分。1545年意大利数学家卡尔达诺(cardano)发表了著作《大术》，将塔尔塔利亚关于三次方程的一般解法发表其中，并第一次使用到了复数。

将10分成两部分，使其乘积为40. “显然，该问题是不可能的...但是抛开精神的痛苦，我们将5+√-15和5-√-15相加得到10，相乘得到40...”《大术》

显然，卡尔达诺怀疑自己的发现，而同时期的数学家邦贝利(Bombelli)则不但大胆的接受了复数，而且在《代数》一书中制定了一系列计算规则，让复数系统理论上切实可行。

√-1是复数系统的核心，它的出现让数学家们大吃一惊、也大为不解，在以几何为中心的16、17世纪，数学家们偶尔也提及它，但复数并未得到过多关注，18世纪复数在伯努利、欧拉等大家的关注下，才得以广泛的关注，最著名的就有欧拉公式.

欧拉公式

复数在18世纪有了广泛的应用（尤其在三角函数上），但是数学家们只是用它，仍然怀疑它的真实性，毕竟以严密性著称的数学并不欢迎一个“来路不明”的迷失者。

1797年，测量员韦塞尔（Wessel,1745-1818）的一个发现，让复数从此成为正规军，两年后的1799年，高斯“代数基本上定理”的证明，一锤定音式的给了复数以至高的地位。

韦塞尔给了复数以合理几何解释，让复数变得“合法”。从现在的角度理解，在复平面上，取实轴（Re）上的坐标a,和虚轴（Im）上的坐标b,对应的点即为复数a+b√-1.

韦塞尔很熟悉物理中“矢量”的平行四边形法则，并将其运用到复数“加法”运算中，(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i

复数的加法与平行四边形法则

如果我们将两条线段(OB和OC)以某种方式合并起来,就称将两条线段相加,方法是第二条线段的始端（点O）连接第一条线段的末端(点B),然后从合并线(O-B-D)的第一个点到最后一点贯穿一条线段,这条线段(OD)就是合并的两线之和。

韦塞尔的“加法”使用了力学中的平行四边形法则，同时借助“有向线段”来完成。 对于乘法，韦塞尔的创造性想法是：根据（+1）·√-1=√-1，√-1·√-1=-1，（-1）·√-1=-√-1，-√-1·√-1=1等在坐标上的位置，得出√-1的一个几何解释是“逆时针旋转90°”，然后使用三角函数来处理复数，即对于任何的复数a+b√-1，都可以找到对应的坐标（a,b），以及长度为r,角度为θ的“有向线段”来表示，a+b√-1=r(cosθ+√-1sinθ)。

这样，复数的运算可以转换为几何来进行。一般的复数a+b√-1的乘法公式为：（a+b√-1）（c+d√-1）=(ac-bd)+(ad+bc)√-1.

韦塞尔的工作不但很好的解决了复数的合理性问题，而且真正为解决数学、物理问题引入了一个新的强有力工具——“向量”。

在18世纪之前，“向量”只在物理学中隐隐的以“平行四边形法则”的形式出现，这相当于是向量的加法。韦塞尔的工作，不但说明复数可以在复平面上用点和有向线段表示，而且建立在“有向线段”上的加法和乘法使得“向量”第一次正式的以纯数学的方式进入我们的视野。从此，平面向量成为解决代数问题的有力工具。

数学家们希望将“向量”的方法运用到物理领域，但是发现并不是这么容易，建立在复数基础上的“向量”不能解决三元的物理问题。数学家们兵分两路，一部分从物理应用出发建立了高维向量系统，而另一部分从数学的角度寻求突破，发现了“四元数”。

二、格拉斯曼的向量系统

1840年，格拉斯曼（Grassmann,1779-1852）完成了论文《潮的理论》的写作，这篇论文初次建立了向量基础上的空间分析系统。文章给出了向量的一些基本性质：如，AB=-BA,AB+BC=AC,A(B+C)=AB+AC，a·b=|a|·|b|cos<a,b>。论文也讨论了向量的偏微分求法。

这样一些关于向量的方法被格拉斯曼用来解决“潮的理论”问题，并取得了成功。接下来的1844年，格拉斯曼趁热打铁，发表了《扩张论》。

“我很快意识到自己已经邂逅了一个新的科学领域,而几何只不过是其中的一个特殊应用。”（《扩张论》）

格拉斯曼把我们现在认为的向量作为“扩张量”的一部分，使向量在三元空间也不受限制。在承认向量是有向线段的基础上，他提出了“向量的长度和方向是固定的，而位置却可以随意改变”的思想，讨论了向量的加法和减法，并创造性的讨论了10多种向量乘法，其中就包括了常用的向量的外积和内积。以三元向量为例，

两个向量的“内积”得到的是一个数（而非向量），而“外积”的结果仍然是一个向量，这分别与我们中学课本中的“数量积”和“叉乘”是等价的。

格拉斯曼的扩张论思想太过超前、抽象和一般化，以至于当时顶尖的数学家也不能（或很难）理解，再加上他小小的名气并没有促使更多人去理解他的思想，这些原因都直接导致了他的思想在19世纪并未被传播开来。

而另一位“天才数学家”哈密顿则要幸运得多，他的“四元数”思想，尽管发现时并未在物理上取得重要应用，而且也没有“扩张论”这样的接近向量分析。但是因为“光环效应”，以及文章的易理解性，“四元数”立刻深受数学家们的热爱，并得到了广泛传播，随后在泰特、麦克斯韦等大家的努力下，“四元数”更是成为了力学、电磁学研究必不可少的工具，这都为向量分析的最终成型奠定了坚实基础。

三、哈密顿的四元数

哈密顿(Hamilton， 1805～1865) 是英国著名的数学家、物理学家，是英国历史上继牛顿公爵以后最伟大的数学家，他的能力与生俱来：

13岁，已熟练掌握多门语言

17岁，对大师拉普拉斯的《天体力学》了如指掌，并指出书中一个错误.

18岁，以第一名的成绩考入“三一学院”

22岁，被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授

此后的简历就不用多说了，22岁就混到了常人一辈子也不敢想的位置，只能望其项背了。

哈密顿发现“四元数”是受到韦塞尔关于复数的几何研究的启发。前文说到，复数可以转化为二元的向量，或是在复平面直观的表示。哈密顿则引入有序偶(a,b)，来对应复数a+b√-1，使得复数脱离几何而成为代数的一部分，通过定义有序偶(a,b)来作相关运算，而不必借助几何。如复数的加法写成：(a,b)+（c,d）=(a+c,b+d).

一方面，这样定义的复数在二元运用上功能强大，但是推广复数到三元就遇到了前所未有的瓶颈。另一方面，在实际应用中，给出一个物理量（如，力），是需要有三个方向来确定的，当时的复数只有两维(a,b)，无法实现。哈密顿希望从纯代数的角度来将复数进行推广，再运用到物理学上。

刚开始哈密顿计划发明一种类似(a,b)的“三元数”，作为“复数”在三元上的推广。这件看似简单的事情，事后被证明是不可能的。我们知道，从实数推广到复数，数系的很多性质和“逻辑”都是保持不变的。如“+、-、×、÷”的运算，及交换律、分配律等。

1、乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c

2、乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)

3、乘法交换律:a×b=b×a

4、加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

但是从二元的“复数”变化到“三元”时，很多数的性质都不能满足了，通过进一步的研究，哈密顿转而研究“四元数”，并取得了部分成功。

哈密顿引入了四元数（a,b,c,d）=a+bi+cj+dk并定义了相关运算，式子中a为实数部分，bi+cj+dk为向量部分。定义加法：（a,b,c,d）+（x,y,z,r）=(a+x,b+y,c+z,d+r).乘法则建立在下列运算的基础上：jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j,ij=k,ji=-k,i^2=j^2=k^2=-1.

由此得到的“乘法”运算，和二元运算的时候产生了冲突，即“四元数”不满足“乘法交换律”，我们看一个简单的乘法运算：

a=1+2i+3j+k,b=1+2i+j+k,则，

ab=-7+6i+4j-2k,

ba=-7+2i+4j+6k ,

而ab≠ba.

但是哈密顿并不在意，因为其他的数的大部分法则,”四元数”都是满足的。

哈密顿的“四元数”一经发表就受到了数学家们的强烈追捧，尽管当时还没有任何的物理应用，但是以他“天才”的名气而使得“四元数”迅速传播，赢得了像泰特和麦克斯韦这样的超级粉丝。泰特在物理上找到了“四元数”的许多应用，而麦克斯韦更是在“四元数”的基础上完成了电磁学的方程简化。

麦克斯韦

到了19世纪末期，两位数学家：吉布斯(J·W·Gibbs，1839-1903)和亥维赛（Heaviside,1850-1925），最终在“四元数”的基础上（只考虑向量部分）提出了完整的、系统的“向量系统”。

四、综述

纵观向量的发展史，我们发现它是物理与代数相互交织的结果。首先，是源于古希腊时期的向量加法（力学中的平行四边形法则），然后18世纪随着复数（二元）的几何化而以“有向线段”的存在，得到较大的发展。接着，数学家们从两个角度对二维向量进行推广，一方面，从物理应用角度，格雷斯曼将向量推广到高维空间，但是因其高度抽象性而未及时受到重视。另一方面，哈密顿从纯数学的角度将复数推广到“四元数”，“四元数”在物理上的成功及麦克斯韦等大家推崇让四元数得以重视和发展，并最终导致了20世纪向量分析的产生。一切都不是偶然，但是偶然会让必然的时间提前或延后。向为此做出努力的数学家们致敬。

参考文献：

1. 牛顿.自然哲学的数学原理,曾琼瑶等译.江苏人民出版社.2014.

2. 克莱因.古今数学思想.万韦勋等译.上海科技出版社.2012.

3. 孙庆华.向量理论历史研究.2006