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几何形一般被分作两大类型：静态几何形和动态几何形。这里“几何”这个词汇用的是它的原意：“多少”。这是一个在度量上尚未确定的“量”，是一种不确定的词汇。这里的“形”则是“数学理想图形”的一个简称。因此，“几何形”就是“几何图形”的一个简称，其含义就是数学上一种“待定的理想图形”——或者是一种“静态变量图形”（即代数图形），或者是一种“动态变量图形”（即拓扑图形）。这种“变量图形”它和那种长度，角度，面积和体积始终恒定已经确定了的“常量图形”完全不同。 一般而言，图形的第一级分类为：图形={离散图形，连续图形} 其中，连续图形的第二级分类为：连续图形={连续常量图形，连续变量图形} 连续图形的第三级分类：连续变量图形={连续静态变量图形，连续动态变量图形} ={连续不变形图形，连续可变形图形} ={连续干固体图形，连续干流体图形} ={连续定形，连续流形} 连续图形的第四级分类：连续动态变量图形=连续可变形图形 =连续干流体图形 =连续流形 ={连续同胚图形，连续同伦图形} 我们以“大写的英文字母一维连续统图形集合”和“阿拉伯数字一维连续统图形集合”作为实例，看看“同胚图形”和“同伦图形”之间究竟有哪些不同？
一维连续统同胚图形集合 一维连续统同伦图形集合
任何一名细心、认真、有流形几何学基础的围观客，都能轻而易举地一眼发现，在以上我们所给出的这种“一维连续统同胚流形”和“一维连续统同伦流形”的实际例子——即“大写的英文字母一维连续统图形集合”和“阿拉伯数字一维连续统图形集合”中，竟然“冒天下之大不韙”把{B}和{8}也当作了“流形”的一种实例——显然，在全球各国任何一本“微分拓扑学”中，非但决不会将{B}和{8}当作是一种“流形”，反而，毫无例外地一律将{B}和{8}也当作了不是“流形”的著名的简单案例来讲解。 为何我们和全球各国任何一本“微分拓扑学”所表达的这种举世公认的“流形观”如此交恶相左呢？在我们看来，简言之，无非是我们的“流形观”站得更高、立足于更为博大精深的“同伦几何学”，看得更远而已。 对于世界各国的数学家和物理学家在“拓扑学”的大学和研究院所的教材中，一向都习惯将非光滑的“三角形”和光滑的“园”当成是“两个同胚几何形”的流行做法，我们则一贯拒不认同！这是因为在我们的“流形观”中，非光滑的“三角形”和光滑的“园”永远都无法实现“同胚变换”的几何形，“三角形”的三个奇点（即通常人们所谓的“顶点”）在光滑的“园”上，永远都找不到与之相对应的点！这是因为在“同胚变换”中，基本几何元素（点、线、面、体、……、等等）的总数，既不能被增加；也不能被减少。 网上的诸位虚拟看官，在以上我们所给出的这种“一维连续统同胚流形”和“一维连续统同伦流形”的实际例子——即“大写的英文字母一维连续统图形集合”和“阿拉伯数字一维连续统图形集合”中，人人都能一眼发现，只有在“同调变换”中，那种基本几何元素（点、线、面、体、……、等等）的总数，既能被增加；也能被减少。非光滑的“三角形”和光滑的“园”虽然永远都不是“同胚变换”的几何形，可是，非光滑的“三角形”和光滑的“园”却能够是“同调变换”的几何形。 “天下文章一大抄”，人云亦云，随波逐流的不良恶果之一，就是以讹传讹，贻害天下各国一代又一代的莘莘学子，让谬论永传，让真理蒙羞。比如，全球各国任何一本“微分拓扑学”一律将{B}和{8}，当作不是“流形”的著名的简单案例来讲解，谎称不光滑的“三角形”和光滑的“园”，居然是“同胚变换”的几何形云云，……，等等。 有没有比“同伦几何学”更为普遍、更加高等的一种变形几何学呢？我们对此的回答是异常肯定的。这就是我们史无前例所定义的“同维几何学”： 一维连续统同维度图形集合 S={C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z,E,F,T,Y,H,K,X}∪{D,O,A,R,P,Q }∪{B} 一维连续统同维度图形集合 一维连续统同度图形集合 S={C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z,E,F,T,Y,H,K,X}∪{D,O,A,R,P,Q }∪{B}∪{1,2,3,5,7}∪{0}∪{4}∪{6,9}∪{8} 任意一种点、线、面、体、……、等等不同维数、不同形状的连续几何形之间，均能实现彼此的相互自由变形。我们将这种最广泛的“同维几何学”中的任意维数、任意形状的几何形之间的变换，命名为“通达变换”。 为何需要引进这种“通达变换”的“同维几何学”呢？因为在大自然界中，自然之物不仅能够从点几何形的尘埃，生长变形为线状几何形、面状几何形、体状几何形、……、等等；而且还能能够从体状几何形，破损变形为另外一种的体状几何形、面状几何形、线状几何形、点状几何形。数学几何学当然要去研究这种能够实现“通达变换”的“同维几何学”。吴承恩笔下“西游记”中的36变的猪八戒和72变的孙悟空，“计算机图形几何学”中的各种数字化的游戏人物、鬼怪、精灵、五光十色的必杀技和光怪陆离的场景，统统都是这种“同维几何学”重点要研究的对象。 流形几何学不关心外部空间的确定维度，或者说流形的外部维度是不确定的，即流形的外部维度是一种几何维度.这里“几何”同样也是“多少”的意思，属于待定的一种变量。常维度的空间，那是属于等级最低的静态几何学的概念，而不是动态几何学的概念。流形的外部维度可以是任意的，它的维度，而是变量了！当然，一般地说来，一个任意流形的维度，可以是整数，也可以是分数，也可以是无理数或超越数。当流形的外部维度是一种不确定的任何实数的时候，那么这类流形就是大名鼎鼎的“豪斯多夫流形”。所以，站在较高的拓扑几何学的立场来看，任意一种类型的几何形，其实，都是“豪斯多夫流形”的子流形而已。 而且，对于那些相对简单的流形而言，在一般情况下，通常不是只选择一个座标系，往往必须用“有限的N个座标系”，才能将它进行精确地、严格地量化描述。对于一个任意流形，一般都是需要“无穷多个座标系”，才能将它严格量化精确地表达出来！ 假如一个人没有这种流形几何学的基础，那么现代物理学的大门将对他永远紧紧关着！直言之，流形几何学是现代物理学的敲门砖。而量子力学正是建立在这种流形几何学上的自然学科之一。 在静态几何学中，这种一维连续统同胚图形：C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z，个个都是决不雷同的一维连续统图形。由于它们都是简单的图形，因此，只要一个或者一对两个座标系，就能精确描述它们了。在动态几何学中，个个相同，毫无任何分别。 一维连续统图形：D,O，A,R，P,Q。就非常复杂，一般至少需要两个，或者两对座标系，才能精确描述它们。 而一维连续统图形：B，必须至少需要四个，或者四对八个座标系，才能精确描述它们。为何？ 这就是数学家为何发明出“座标系卡”或者“座标系图册”这种办法，去研究流形了。 描述一个空间维度确定的静态图形，而不是更加复杂的空间维度是变量的动态图形（即流形），一般我们究竟需要几个座标系呢？以前，我们举过的著名历史案例之一，就是关于二维球面。
经过亚里士多德，阿波罗尼，喜帕恰斯和托勒密的进一步修订，刷新，升级之后，在欧洲延续了长达2200多年之久。喜帕恰斯对这种几何宇宙观的二维球面天文学的升级改造最为引人瞩目的地方是，他为这种二维天球面制定了经纬度网，用天经度和天纬度去给宇宙天空上的任何一个星星来定位。于是，任何一颗星星的运动变化，就是它在天球上的天经度和天纬度的变化了。球面三角学于是诞生了。相对欧几里得平面学上的三角学，它显得非常高，难，精，尖，深！喜帕恰斯才是数学史上发现发明座标系几何学的第一人，而不是笛卡尔。 古希腊人很快把眼光从至高无上的83个宇宙天球构成的几何宇宙观，转移到了足底下的尘世，他们为地球也编制了这种经度和纬度的座标网格，也就是人们耳熟能详的、地球球面上的地理经纬度网，并计算出地球的周长是4万公里这个正确数值。这当然，只不过是彰显了古希腊人那种举世无双的、“二维球面三角学”的一个巨大威力的案例之一而已。 可是，在古希腊人取得这些世界第一的、独一无二的辉煌历史成就的余辉里，我们不得不揭露光辉背后的小小的、却又是不容忽略的黑暗瑕疵。喜帕恰斯用经度和纬度去覆盖和量化二维球面，这个方案真的是完美无瑕吗？甚至，会不会是在根本上就是一种完全错误的数学几何方案呢？ 众所周知，在今天全球的中学和大学的教科书中，人们都在继续沿袭喜帕恰斯的这种座标系去绘制脚下的地图和天上的星图。即使今天的全球卫星定位的GPS系统，也是依旧沿用着。 不幸的是，在数学上，这种二维球面根本就无法用一个经纬网座标系完全覆盖！这就意味着喜帕恰斯经度和纬度去覆盖和量化二维球面的几何学方案是一种彻底错误的方案。不是都沿袭到了21世纪了吗？为何要说喜帕恰斯这种二维球面经纬网座标系就是一种完全错误的数学方案了呢？原来，用喜帕恰斯这种二维球面经纬网座标系去覆盖和量化二维球面的时候，会有两个人造的可怕奇点：即两个南北半球上的极点——这正是浑身上下都刀枪不入的阿喀琉斯的“后踵死穴”。 二维球面是一种典型的处处光滑、处处连续、处处可导、处处可微的曲面，上面原本没有一个奇点！可是，喜帕恰斯用这种二维球面经纬网座标系去覆盖和量化二维球面的时候，人为地在南北极上凭空捏造出来了两个原本压根就不存在的奇点！二维球面本身没有任何问题，上面永远都不存在任何一个奇点！喜帕恰斯却使得这种二维球面凭空飞来了两个奇点！谁错了？是这种二维球面突然出错了？还是喜帕恰斯的经纬网座标系出错了？
数学，在古希腊人那里是一门最严格最严谨的科学——它是揭示和展现大自然原始设计的一门最伟大的理性学科。从来都不是一种现代人因为幼稚、愚蠢和自大误解为纯人心思想上的智力游戏，或者是一种数学家所称的什么用来锻炼人思维健康的“思想体操”！所以，古希腊人的几何学，仅凭所谓的欧几里德的“几何公理体系的证明或者证伪”，那是远远不够的！还必须依赖实践性质的“可作图证明或者证伪”！而且，后者证明或证伪，比起前者证明或证伪，更具有最高的、最后的终审裁决的权威性！直言之，在整个古希腊时代，任何一个几何学命题的证明，可作图证明高于理论证明！ 亚里士多德指出（Plutarch说柏拉图也说过）几何定义，只不过是给一个几何形用一些文字定个名称，它必须用先存在于所定义的事项的某种东西来表述。他批评欧几里德几何学关于“点的定义”是不恰当的，不能被认作是一种点的定义——因为欧几里德说“点是没有部分的那种东西”。
到了17世纪，莱布尼兹非常称赞亚里士多德的这种观点，他举出过“正十面体”这样一个著名的公例。我们可以定义这样一个几何形，虽然它并不存在。假如人们并未意识到这个图形不存在，就着手去证明有关这个图形的诸多定理，那么他所得出的结果尽管都严格符合欧几里德的“几何公理体系的证明”的每一个步骤，但其最终的结果将是胡说一气。 古希腊人更加严格、更加苛责。他们认为即使所定义的几何形可以真实存在，而非是虚构的。如果不能作图证明，那么也必须排除在外！亚里士多德和欧几里德都指出，“任意角的三等分”这个例子，虽然它可以定义，但是由于不能用直尺和圆规作图证明，因此，这是一种伪定义，在古希腊几何学中不予考虑。尽管，“任意角的三等分”可以定义，也可以被“代数证明”，但是不能被“几何证明”。所以，这种定义必须要从数学中被开除掉！ 所以，在整个古希腊数学中，几何学要比那种算术性质的代数学高一个档次，高一个等级。而且，对于一个命题，那种思想性质的“代数证明”只是一个初步证明；而最终构造性的“几何证明”才是终审证明。 19世纪末以来的“现代数学”的立场和观点和“古希腊数学”正好相反——他们认为构造性的“几何证明”可以完全扔掉，丢弃在一边。只需要那种思想性质的“代数证明”即可。这种“现代数学”，显而易见，它不再是一门科学了，而是真的堕落为一种“思想体操”或者纯人心思想上的“智力游戏”。如何对付那些非常善于言辞的诡辩呢？数学是用几何；科学是用事实。
为了精确量化描述一个二维球面，人们至少需要引进两个独立的半球面的经纬网座标系去覆盖整个球面。类似地，为了精确量化描述一个立方体的二维表面，人们至少需要引进6个独立的平面经纬网座标系去覆盖它的整个表面。 对于自然界中很一般的、更加复杂的那些二维曲面来说，我们需要引进N个二维曲线座标系，甚至无穷多个二维曲线座标系，才能将它们精确量化描述。我们把这种“N个二维曲线座标系”，或者“无穷多个二维曲线座标系”，统一地称作为“座标系卡”，或者“座标系图册”。 由于任何一种曲线座标系，一律都是成双成对的。因此，对于像一个二维球面这种具体的几何形而言，通常需要四个独立座标系去量化描述。类似地，一个立方体的二维表面，通常需要十二个独立座标系去量化描述。 中外大学数学和理工专业的几何学教材，非常陈旧，非常落后。因为这些大学几何学教材，统统都没有那个教会我们的学生，如何用四个独立座标系去量化描述像一个二维连续统的球面这种极为简单的、既没有任何一个奇点、也没有任何一条奇线的、具体的几何形？也没有教会我们的学生如何十二个独立座标系量化描述具有一个既有8个奇点、又有12条奇线的、相对复杂的、具体的立方体的二维表面？ 这是一个很不幸的岁月，全球各个大学的本科生，人人挂着这么一副极其尴尬的囧脸，即使当他们大学毕业的时候。甚至，很多硕士和博士毕业的理工科学生，也是这幅囧脸哦。也没有教会我们的学生如何用十二个独立座标系量化描述一个既有8个奇点、又有12条奇线的、相对复杂的、具体的立方体的二维表面？怎么办？我们不得不只好亲自去编写一本能够部分体现20世纪数学几何学高度的、适合本科高年级、研究生低年级学生来学习的几何学教材，用行动去改变全球各个大学当前的这种几何学教材的尴尬窘境。把20世纪数学几何学的部分内容从大学数学专业移植到理工类和财经类专业。 http://blog.sina.com.cn/s/blog_3e70617d0100r5nz.html |
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