2019年中考前夕，一个小学跟我学过竞赛的孩子的家长找到我，说孩子遇到了一些问题，希望我帮忙指导一下。聊完之后才知道孩子对于中考最后2-3题的最后一问得分率一直很低，找不到解决问题的办法，很痛苦。因为每次一看答案，感觉都能理解，但一到自己做，就蒙了。 而在我的印象中，这个孩子的数学思维还是很不错的，小学一直学竞赛，应该是不会存在这样的问题的。但后来回过头来一想，毕竟也是中考压轴题，对于初中回归课内，不再学竞赛的孩子来说，可能也并不是那么容易。 当思维的高度被限制了，就很难站在稍微高一点的位置来俯视问题了，当然也就很难找到解决问题的一般性方法了。很遗憾，当时我确实很忙，课排的也非常满，只能在一次课后与匆匆赶来的他简单聊了一会，没能给予他更多的帮助。 所以今年，我准备花点时间，从个人的视角来分析一下近五年北京市中考数学的后三道压轴题。因为水平有限，总结的“套路”也不一定完善，但如果能给一些恰好困惑的孩子一点启示，那也是很好的。 首先，我们先来分析一下倒数第三题，函数综合题。 我先贴上近五年的真题，最好能让孩子先试着完成这五道题，再看后边的内容，可能会更好一些。 相信绝大部分同学应该都能顺利的完成每年的前两问或第一问，那么我们先一起来简单梳理一下这里边都考到了哪些知识点。 如果以上知识点个别同学还有问题的话，那就需要首先加强对基础知识点的理解与掌握了。 接下来，我们再来分析我们这篇文章需要解决的关键问题，每年的最后一问。相信大部分同学都已经发现了，每年的最后一问有一个共同特点，都是求取值范围的。如果你也发现了这个问题，说明其实你已经具备了解决这一类问题的思维关键。 为什么都是求取值范围呢？因为这里要考察我们对函数图像的动态分析能力。变化的问题总是要比静止的问题更难分析，压轴题嘛，总归是要有点难度才行。 那我们到底该怎么去解决这类动态变化问题呢？别忘了，每年的题虽然都在变，但你已经发现最后一问都是求取值范围，这个是不变的。 变中抓不变，是解决动态问题的最核心思想。虽然函数图像是动态变化的，但一定不是毫无限制的变化、随机的变化，如果真是毫无限制、随机的变化，那我们暂时就无法解决了。自然科学的进步与发展，更多就是因为人类相信自己生活的这个世界是有规律的。道生一、一生二、二生三、三生万物，万物在变，但道不变。 因此我们解决问题的第一步就是分析这个函数图像有什么限制，哪些量是不变的，是对称轴还是顶点坐标亦或是过定点等等。 当我们确定了这些不变量，就会发现问题已经清晰很多了。 紧接着我们再去分析变量是如何影响函数图像变化的，有什么规律，而当我们找到它们之间的关系时，问题就已经离解决不远了。 古希腊数学家芝诺提出过一个著名的悖论：飞矢不动。什么意思呢？就是一支射出去的箭虽然是动的，但在每一个瞬间都是不动的，那么运动的状态其实是由无限个静止的状态构成。当然我们不是来讨论这个悖论的，但“运动的状态是由无限个静止的状态构成”却可以给我们很好的启示。为了研究运动状态，我们通常可以选择运动过程中的一些特殊点、临界点去研究，化动为静。因此，我们通常只需要根据函数图像的变化规律与题目要求，选择一些经过特殊点或临界点的时刻，化动为静，解决问题。 最后，我们总结一下解决动态函数图像问题的一般方法。首先，确定函数图像的不变量（开口方向、对称轴、顶点坐标、过定点）；其次，分析函数图像的变化规律与变量的关系；最后，研究特殊点、临界点，化动为静，解决问题。 接下来我们来分析一下这五年的真题，看你是否有所收获。 2015年的第三问：
2016年的第二问的第二小问：
2017年的第二问：
2018年的第三问：
做完之后，我们再来简单对比一下这道题与2015年的题目。会发现两道题目都是要求抛物线与线段恰有一个交点，而线段都是确定的，抛物线的对称轴也都是确定的，最终求的都是二次项系数的取值范围；不同的仅仅是2015年抛物线上确定的那个点是顶点，而2018年抛物线上确定的点是与x轴的交点。虽然我们最终都可以通过讨论抛物线开口方向和大小来解决问题的，但2018年的难度明显更大一些。 2019年第三问
分析完这五道题后，你是否有所感悟呢？如果有，那就赶紧去找几道模拟题练练手吧！ 同学们也可以按照自己的思路去分析一下这些题目，也许你可以总结出比我更精彩的方法，记得要跟我分享哟。 |
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