静安区2019学年第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷
本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
．▲．．的圆心角所对的弧长为▲．．和的倾斜角分别为和，则与的夹角为▲．．的一个法向量为，则直线的斜率▲．．．．．是等腰直角三角形，斜边．(及其内部)绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为▲．．中，，．的值为▲．．▲．表示）
9．共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为▲．．的反函数定义为反正割函数，记为：．则▲．．的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为▲．．，我们可以证明对数的运算性质如下：
①
我们将①式称为证明的“关键步骤”．（其中）的“关键步骤”为▲．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
．，则“构成等差数列”是“”的（）．
．，若复数是纯虚数，则点一定满足（）．；B．；C．；D．．．，则展开式中的系数等于（）．．．处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（）．．三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17．12分，第1小题6分，第2小题6分）
如图，在正六棱锥中，已知底边长为，侧棱与底面所成角为．；
（2）求证：．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）
是等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，，求的最大值；
（2）设，()，数列的前项和为．且对任意的，都有，求的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
的准线方程为，焦点为．
（1）求证：抛物线上任意一点的坐标都满足方程
；
（2）请指出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
21．（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）
是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”．
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证：在区间上单调递减；
（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数．若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论．
A
C
B
D
第7题图
A
B
C
D
F
E
P
A
B
C
D
图1
A
B
O
C
D
图2
O
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