江西2017某市中考压轴难题：动点和圆结合的分类讨论题

动点在简单的数轴上运动虽然难，但动点遇圆结合的中考题就难上加难了，今天笔者就2017年江西某市的中考压轴题进行分析探究！

如图，∠AOB=45°，点M,N在OA上，OM=X,ON=X+4，点P是边OB上的点，若使动点M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，求x的值

此题需要分类讨论：

情况一： 当M点与O点重合时：

1、有下列情况作MN的中垂线交OC于点P',即得MP'=NP'

2.以O为圆心，MM为半径作圆交OC于P''点，连接NP'',即得MP''=MN

3.以N为圆心，MM为半径作圆交OC于P'''点，连接NP'',即得NP'''=NM

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情况二：分别以M,N为圆心，MN=4为半径作两圆以及作MN的中垂线，得

为了让读者更清晰的看清三个等腰三角形，对P',P'',P''三个点分别连线，得图

从图中可得P'，P'M=P'N P'',P''M=P''N,P''',P'''M=P'''N

我们发现拖动N点时，P'',P'''的位置发生了变化，我们可以得出此时OM的值也在不断的变化，所以OM在拖动过程中x的值是一个取值范围。

沿OA方向拖动，圆M与OC相切时OM的值最大（该切点取到一个点，不符合题意）如图

第三种情况：这种情况学生在解题的时候是最容易忽视的情况，我们继沿AO方向拖动，圆M离开点O时，继续拖动圆M直到圆N与OC相切时，此时P也且仅当有三个点，如图

此时OM的值是多少呢？

解：连接NP''',得如下图

当圆N与OC相交时有四个点，不符合题意。

结束语：遇到此类的动点分析讨论题，要构建3个等腰三角形的点，我们所先要想到圆，利用圆的知识去分类讨论！

PS:

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