2019年高考（全国Ⅰ卷）试卷文科数学分析报告

作者：杏坛中学高三文科数学备课组

责编：蔡斌 杨小玉

审核：王常斌

一、试题总体分析

  今年高考以“稳中求变，大胆创新”基调，体现了新课标中以基础知识为依托，以能力考查为主旨，凸显数学学科核心素养的指导思想。从各板块分值占比分析可见，各模块占比变化不大，试卷结构与往年基本一致。各模块中考点分布与去年高考无大差异，考点常规，偏题、怪题很少出现，符合全国卷的一贯作风。统计概率及三角函数部分与往年持平，但难度也相应下降，这也符合新课标中的变化趋势，而函数与导数部分难度有所上升。考点分布上，出现了往常较少考查的独立性检验题型，而往常常考的椭圆综合题型在本卷中未出现。该试题开始尝试多角度、多层次地考查考生的数学学科核心素养，重视对逻辑推理、数学运算、创新意识与数学文化的考查，突出数学的基础性和应用性。试卷中出现了两道创新题型，分别为第4题，考查了学生对数学文化及对数学之美的理解，第17题，以生活中切实相关的顾客满意度为载体考查了独立性检验。

二、试卷设计

（一）2019年全国高考新课标I卷文科数学试题命制双向细目表

题型	题号	分值	考点	了解	理解	应用
选择题	1	5	复数的概念及运算		√
	2	5	集合的运算		√
	3	5	指对幂比较大小		√
	4	5	数学文化		√
	5	5	复杂函数图像的性质		√
	6	5	系统抽样		√
	7	5	三角恒等变换		√
	8	5	向量的数量积		√
	9	5	框图		√
	10	5	双曲线的离心率		√
	11	5	解三角形的综合题型		√
	12	5	椭圆的综合题型		√
填空题	13	5	函数的切线方程		√
	14	5	等比数列前n项和		√
	15	5	三角函数的最值问题		√
	16	5	点到平面的距离		√
必解答	17	12	独立性检验			√
	18	12	等比数列综合问题			√
	19	12	线面平行、点到平面的距离			√
	20	12	函数零点、恒成立问题			√
	21	12	直线与圆			√
选考	22	10	极坐标与参数方程			√
	23	10	不等式选讲			√

（二）近三年高考选择、填空题考点分析

题型	题号	2017	2018	2019
选 择 题	1	集合	集合	复数除法、模
	2	统计、稳定性	复数	集合运算、补集和交集
	3	复数概念	统计（饼状图）	指对数函数、比较大小
	4	几何概率	椭圆（c,e）	数学文化、黄金分割
	5	双曲线、△的面积	圆柱的表面积	函数图像、奇偶性
	6	空间位置关系	奇偶性、切线	系统抽样、等差数列
	7	线性规划	向量的基本定理	正切和角公式、周期性
	8	函数图像判断	三角函数（T、最值）	向量垂直与夹角
	9	单调性、对称性	三视图、圆柱	程序框图
	10	程序框图	立体几何与线面角	双曲线的离心率与向量
	11	解三角形	三角函数定义	正余弦定理
	12	椭圆、范围	函数综合问题	椭圆
填 空 题	13	平面向量	对数运算	点的切线方程
	14	曲线的切线方程	线性规划	等比数列计算基本量
	15	三角恒等变换	直线与圆、弦长	二倍角公式与二次函数求最值
	16	三棱锥与球	解三角形	求点到平面距

（三）小题具体试题分析

评析：此题考察复数的除法、模。该部分内容选自选修1-2第三章，是高考的必考内容，难度系数最低。在高三复习中，做到理解复数的基本概念（共轭复数、模）；理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示形式及其几何意义；能进行复数的代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义。

评析：此题考查集合的交并补运算，选自必修1第一章，，在历年高考中必一道小题考察此内容，难度系数低，。在高三复习中做到了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。杂具体情境中，了解全集与空集的含义，能进行集合的交并补运算，能利用韦恩图表示集合的关系和运算。该章节内容可在每日一练中渗透。

评析：此题比较指数函数、对函数的大小，涉及指数函数、对数函数的单调性。在复习中，让学生熟读基本初等函数的性质，掌握利用比较大小的方法

评析：此题考察数学文化、黄金比例，题目新颖，符合对数学素养的培养的要求，引来广大一线教师的热议。在接下来的高三复习中，提高学生的阅读能力、提取信息能力。在不超出考试大纲的前提下，适当训练背景新颖的题目。

评析：高考必考题目之一。考察函数的奇偶性、单调性，常用排除法。在今后的复习中，可以把各年真题汇成专题，让学生在总结归纳出方法策略。

评析：此题考察结合等差数列考察系统抽样，考察学生的获取样本数据的方法，选自必修3第二章。在高三一轮复习中，要求学生掌握简单随机抽样的方法原理。并能够理解茎叶图、频率分布直方图、饼状图表达的含义。

评析：考察必修4的正切两角和公式与正切函数的周期性，较为常规。在高三一轮复习中注重基础知识的落实，例如三角函数的基本性质，特殊三角函数值、诱导公式需要学生熟练掌握。

评析：考察向量的运算、模的定义。在一轮复习中，让学生理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何意义；掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。了解向量线性运算的性质及其几何意义。

评析：考察程序框图中的循环体结构，在一轮复习中可以通过限时训练提高做题速度。

评析:考察双曲线的a，b，c，e的推导公式以及诱导公式的应用。针对圆锥曲线这部分内容，题目难度有所提高，要求学生熟练掌握基本量的几何意义。在二轮复习中，将题目难度提高到高考甚至高于高考要求的难度，有利于学生更加灵活地应对考试。

评析：考察正弦公式与余弦公式，涉及边角互换。考试考纲要求掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角函数度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

评析：结合解三角形考察椭圆的简单应用。该题体现了数形结合思想，综合应用强，题目难度大。在平常的复习中，引导学生掌握规律，攻破难点，形成知识网络。做到熟悉圆锥曲线的基本量、几何意义、简单应用。

评析：考察曲线的切线方程，导数的几何意义。在复习中，要求学生熟练掌握基本初等函数的导数公式，能利用点斜式求切线方程。此外要让学生明白导数作为工具可以用来求函数的单调性、极值，从而研究函数的图形。

评析：考察等比数列的基本量，体现方程思想，常规题，难度较低。熟练掌握数列的通向公式，前n项和，基本性质。

评析：考察结合换元思想诱导公式与二次函数最值，重视基础的落实。

评析：考察立体几何中点到平面的距离，难度系数大。在熟练立体几何证明中常用的性质基础上，归纳模型，总结规律。

试题分析：

本题考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用,属于基础试题．在给定列联表的情况下，概率可轻松求出，独立性检验一题也是直接代入公式，再进行比较和下结论即可。本题较为常规，考察的是学生对基础知识的掌握情况，以及数学运算能力。

教学启示：

高考备考应抓好基础，让学生把基础知识和基本题型学懂学透，提高其数学运算能力，尤其是简便运算的各种技巧，都要做好落实工作。对于这种基础题，要让差生拿到分，让优生不丢分，提高解题速度和准确度。切不可一味追求难题，好高骛远，而忽视了基本知识和能力。

试题分析：

本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式,涉及数列与不等式的综合应用,属于基础题．本题主要涉及数学的转化思想，第（1）问实质上是求等差数列的基本量a1和d，要把条件所给等式用a₁和d来表示；第（2）问要求n的取值范围，需要把不等式中的S_n和a_n用只含n的式子表示出来，即化为一个关于n的一元二次不等式。这考察的是学生的综合分析能力。而在解一元二次不等式的过程中，涉及了函数与方程思想，考察了学生的数形结合能力。

教学启示：

数列的通项公式问题、前n项和问题实质上就是求基本量，因此落实用基本量法求解数列问题是拿下数列题的必经之路。在此基础上，要让学生熟练掌握等差数列、等比数列的一些常考性质，加深对两种特殊数列的理解，提高答题效率。此外，数列的本质是一种特殊的函数，不论是数列的项，还是数列的前n项和，都是关于n的函数。因而在求解n的值或者范围时，要把方程或不等式内的所有元素化为含n的式子，进而转化为求解关于n的方程或者不等式。在数列复习过程中，应重点培养学生的函数思想和转化思想，提高学生的问题分析能力和解决能力。

试题分析：

此题第一问要通过证明面面平行推出线面平行，比起常规的从线线平行证线面平行，有一定的难度；第二问也比较常规。总体来说，此题与往年的考题难度相当。

试题分析

第20题考查导数与函数的相关知识。高考常考查导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性,利用导数求函数的最值,文科考查了求曲线的切线方程,导数在研究函数性质中的运用，2015年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题，2016文科考查了导数的几何意义,理科涉及到不等式的证明,含参数的函数性质的研宄,极值点偏移，2017年高考考查了导数判断函数的单调性,含参零点的分类讨论；2018文科考查了函数的基本性质与简单的切线计算，属于数学的基本方法与基本经验，降低对导数知识点的要求，回归基础。

近四年的高考试题基本形成了一个模式,第一问求解函数的解析式,以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式,或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题,较为简单第二问均为不等式相联系,考査不等式恒成立、证明不等式等综合问题。去年题目难度有所降低，但今年题目难度又有所增加，主要是需要二次求导，分析函数的单调性与最值。第二问需要学生构造函数并且分类讨论，学生很难达到这个要求。

试题分析

本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.

试题分析：

第22题试题分析：目前新课标卷中的选做题只有两道，即22题的坐标系与参数方程，23题的不等式选讲。从历次高考与统测的数据分析知道，绝大多数的考生都选择22题，主要原因是第一问往往很简单，多数为方程互化，学生用公式和套路，耗时不多就可以解决。但今年一反常态，第一问虽然考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化的，但曲线C的参数方程化直角坐标方程难度大，题型新。消参不易，方法不常规，多数学生极难在短时间内想出解法。究其原因，从近几年的高考试题变化来看，坐标系与参数方程这一道选做题难度有加深的趋势，近三年文科全国1卷均分分别为16年4.24分，17年3.48分，18年3.87分，老师们往往容易认为第二问才是难度所在，因此复习过程中更多的是针对例如：|t|的几何意义；弦长问题；圆与椭圆参数方程应用——参数方程当作点坐标求最值；非极坐标与参数方程思想等做为考题方向，并以此作为训练的重点。虽然2019年的22考题第2问实际上就是常规题：求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题。但由于学生做不出第1问，所以只能作废。

三、复习启发与做法

   2019年的全国一卷侧重以数学基本知识技能为载体的数学能力考察，在高三的复习中，注重对高一高二已学数学基础知识的夯实，同时理顺不同数学模块间的关联关系，锻炼学生综合运用数学技能解决问题的数学思维及能力。具体复习计划如下：

1.一轮复习具体做法

（1）清楚各部分知识在考纲中的考察的层次和要求，每一个单元每一个课时的要点、需要落实的知识点、具体到严格按大纲进行教学，做到高质高效。（2）花时间，花精力，落实基础知识和基本能力。针对我校学生的学情基础，突破如立体几何、导数的应用、解析几何这几个难点。（3）关注情景价值、阅读理解能力、加强对文字、图像、流程等信息中的数据处理和信息整合能力及实际应用。（4）关注计算，保证计算无误。（5）针对我校学生对选择题和填空题分析方法单一这种情况，注重一题多解的强调。（6）对类型题进行系统的总结归纳。例如立体几何常用的载体，常见设问，导数的应用中分类讨论的标准。（7）在教学中渗透数学史和数学文化，提高学生的阅读理解能力。

2.二轮复习具体方法

结合考试大纲和考试说明，依据高考的重点及热点，按照知识与方法精选若干个专题进行专题复习，形成知识网络，完善认知结构；掌握专题主要应用题型，归纳总结解题规律与方法；查漏补缺，解决专题中学生存在的疑难问题；运用所学知识对主要题型能举一反三、延伸拓展，提高学生分析问题与解决问题的能力。例如：解答题的专项训练中对题型题目进行归类，规范答题步骤，常见题型要常练；高效利用课堂，精选例题，做到举一反三；认真批改作业，错题当天清，严抓落实；精讲精练，对知识进行归纳和总结，决不能就题论题，掌握解题技巧，以不变应万变。

3.三轮复习具体方法

在二轮复习的基础上，进行综合训练。主要是做高考真题与各地模拟题，通过规范训练，发现平时复习薄弱点和思维易错点，训练考试技巧和学生应试心理，提高实践能力。回归课本，查缺补漏，再现知识点。树立信心，轻松应考。该阶段需要解决问题是：（1）强化知识综合性和交汇性，巩固方法的选择性和灵活性。（2）检查复习知识疏漏点和解题易错点，探索解题规律。（3）建立知识网络。（4）领会数学思想方法在解答一些高考真题的工具性。最后一个月根据各次考试中高频错题，按照知识点再次强化，逐一消灭难题易错题。加强面批作业与个别辅导。