第一章集合论集合是最基本的数学概念，没有定义集合是所有数学的基础两种集合论 朴素集合论：直观描述集合的概念，有悖论 公理集
合论：用一组公理刻画集合的性质，有不 完备性1.1集合的概念和术语 集合的描述：一些对象的全体作为
一个整体 定义1.集合的元素（成员）∈， 常用大写字母表示集合，小写字母表示元素。 N：自然
数的集合（自然数集） Z：整数的集合(整数集),Z+=N R：实数的集合(实数集),R+：正实
数的集合（正实数集） Q：有理数的集合（有理数的集），Q+：正有理数的集合（正有理数集）表示集合的方法
列（枚）举法： {1，2，3}，{1，2，3，…}，{1，2，…，100}谓词法（概括法）： {x︳p(x)}，满
足性质p的所有元素所构成的集合 {x︳x∈Z+，且x2≤100}文氏图： 用来示意集合的图形，可直观地表示集合
间的关系 矩形表示全集合，圆表示其他集合空集（记为Ф）：不含任何元素的集合，是最基本的集合有限集：只含有限
个元素的集合无限集：含无限多个元素的集合全集（常记为U或E）：所考虑的问题域中，所关心的所有 元素组成的集合
在数论中，全集是N定义2集合的相等 集合中元素的序无关性、重复无关性
{1，2，3}={2，3，1}={1，1，3，3，3，2}]定义3子集和包含关系（?、?）、真子集和真包含关系 （?、
?） 任意集合S都有两个平凡子集：S和? 文氏图对集合间的关系有很好的直观表示A?B??x
(x?A?x?B) A=B?A?B且B?A定理1集合包含关系的性质 ?集合A、B、C，有 自反性：A?A 反
对称性：A?B且B?A?A=B 传递性：A?B且B?C?A?C 证明：（1）对于任何A中的元素它必属于自身，所
以自反性显然是成立的。 (2)假设A≠B，则存在一个元素a，它属于A但不属于B，或者是它属于B但不属于A。若是前者，则这与A
?B矛盾，若为后者，则与B?A矛盾。所以A=B (3)对于任意的a∈A，因为A?B，所以a∈B，而B?C
，所以a∈C。这就得出了A?C。定义4.集合的基数?S?：S中的元素个数 ???=0，?{
1,3,5}?=3，?N?=a，?R?=c集合族：集合的集合，即集合中的每个元素都是集合 A
1={1,2}，A2={{1},2} {{1},{1,2}}，{N,R,Q}，{A1,A2}，{A1,A2,
A3,…} 下标集：集合族中的元素用带下标的字母表示，所有下标组成的 集合 {1
,2,3}是集合族{A1,A2,A3}的下标集 N是集合族{A1,A2,A3,…}的下标集
{Ax︳x∈R,Ax={x}}=?下标集?习题 1.用集合构造符号，给出集合{-3，-
2，-1，0，1，2，3}的描述。 2.对下列集合，判断{2}是否它的一个元素。 a){x∈R|x是大于1的整数}
b){x∈R|x是某整数的平方} c){2，{2}} d){{2}，{{2}}} e){{2}，{2，{2}}} f){{{2}}} |
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