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导论 《数论》堪称数学中的数学，主要研究和探索“数字”的奥秘，人类历史记载，系统的数论研究从公元前300年就已经开始，在这两千年中有无数数学家，对数论研究的发展做出了巨大贡献，本文从中挑选几位，让我们膜拜一下他们的神奇。 欧几里得（Eculid） 欧几里得（公元前325-公元前265），古希腊杰出的数学家。欧几里得是第一个系统、完整开辟平面几何学研究的伟大数学家，其著作《几何原本》，成为平面几何学的奠基，平面几何因此也被称为欧氏几何。 除了在几何学方面的研究，欧几里得也是数论的先驱者，他在数论领域贡献颇多。首先，他非常完整地证明了“有无限个素数”，这也是数论史上第一个被严格证明的定理。其次，他凭借敏锐的直觉，发现了数论学的基础定理——算术基本定理。算术基本定理是什么意思呢？解释一下。 任何一个大于2的正整数都可以分解为有限个素因数的乘积，如不考虑因数相乘的顺序，这种分解是唯一的。举个例子，120=2*2*2*3*5，无论因子顺序怎样颠倒，永远是三个2，一个3，一个5相乘得到120，所以这种正整数的素数分解方式是唯一的。欧几里得意识到了这个定理的存在，但他没能证明它，经过了两千多年，19世纪伟大的数学家高斯才给出了严格的证明。 欧几里得在数论领域还有一个非常大的贡献，就是解决如何求出两个正整数的最大公因数问题。他发现了“辗转相除法”，将两个正整数做k步辗转相除后得到余数0，则最后一个非零余数就是两个正整数的最大公因数。辗转相除法虽然很朴素，但其递归的思想，直到信息化高度发达的今天，其解体思路依然运用在计算机递归算法中。 费马（Fermat） 费马（1607-1665），法国人，被称为业余数学家之王，他的正式职业是律师。虽然数学是业余爱好，但让后人铭记的不是他在法律方面的贡献，而是费马做为近代数论的开创者，微积分学研究的先驱。费马的研究奠定了概率论基础，同时费马在天文、物理方面也贡献巨大。 费马凭借其超人的直觉和敏锐的观察力，提出了很多数论领域前所未有的命题。他首先提出了费马数，他提出任何一个自然数n，则 永远为素数，虽然这个命题被证明是错误的，前5个费马数是素数，从第6个开始费马数都是合数，但费马数依然有广泛应用，被用来证明很多数论命题。 费马小定理是数论学的四大基础理论之一，对于一个素数p，和任何整数a都满足关系：a的p次方整除p的余数与a整除p的余数相等。比如你求50的7次方除以7的余数是多少？显然这很难求出，但运用费马小定理，可以非常容易算出来，答案为1。 费马在数论领域经常被人们提起的是费马大定理。费马曾经在一笔书的边角上写下，我已经找到了多元高次方程无整数解的巧妙证明，但是我写不下了。这个方程就是： 就是因为这一段话，在此后的三百年中，世界上所有最具智慧的数学家几乎都参与了这个猜想的证明，但最终都以失败而告终。每年都有很多人宣布自己证明了费马大定理，但是都逐一被宣布证明有误。 怀尔斯 1993年英国牛津大学任教的一流数学家怀尔斯（Wiles）宣布证明了费马大定理，但不幸的是，经过数学家们的审核，找出了怀尔斯证明过程中的一处漏洞。又经过2年的努力，1996年怀尔斯修补了证明过程，无懈可击地完成了费马大定理的证明。 1998年，四年一度的数学家大会召开，数学家们一致同意给怀尔斯颁发一个“菲尔兹特别奖”。菲尔兹奖是数学界的最高奖项，有数学界的“诺贝尔奖”之称，每4年颁发一次。但菲尔兹奖只颁发给40岁以下的青年数学家，彼时怀尔斯已经45岁，按照惯例他不能被授予菲尔兹奖，但由于他证明了费马大定理，解决了这个300年的数论难题，评委们决定为他定制颁发一枚银质的“菲尔兹特别奖”。这也是迄今为止菲尔兹奖唯一的特别奖。另外在1996年，怀尔斯也获得了代表数学家终身成就的沃尔夫奖。 欧拉（Euler） 欧拉（1707-1783），瑞士人，历史上最伟大的数学家之一，一生勤奋共写出856篇论文和31篇专著，在数论、微积分、力学、天文方面都有卓越贡献，数学中的很多符号都来自于欧拉，如π表示圆周率，∑表示求和，f(x)表示函数等。 欧拉在数论领域贡献太多，以致于难以在这里一一罗列出来。他定义了欧拉函数，对于任何大于1的整数m，以ϕ(m)表示与m互素的整数个数，那么这个数是可求出来的，而且 其中pi和αi分别对应m素数分解式中的素数与其阶数。 在求出欧拉函数值的基础上，欧拉定理被证明：对于正整数m，任何与m互素的整数a，则整数a的ϕ(m)次方除以m，余数为1。 欧拉在数论领域的贡献还有很多，他证明了费马断言的很多命题，发现了二次互反律等。由于连续计算彗星轨道，29岁时他右眼失明，59岁因过度劳累左眼也失明。在双目失明以后，他仍以顽强的拼搏精神与罕见的心算能力发表了几百篇论文，并发现了第8个梅森素数，欧拉是历史上文献最多的数学家，《欧拉全集》总共编写了72卷才将他所有的著作收录完成，人们将他位列人类历史上四大数学家之一。 高斯（Gauss） 高斯（1777-1855），德国人，先讲一个高斯的故事。 18岁时高斯在哥廷根大学读大二，有一天数学老师（大数学家贝努力）在课堂上布置了三道作业题，下课后高斯快速做出了前两道题，但是第三道题他却想不出如何解决。这更加激起了他的解题欲望，高斯不停地思考，花了整整一夜的时间，终于将这道题做出来了。第二天他对老师说，自己前两道题很快做出来了，但是第三道题却花了很久的时间才解出来，实在有些惭愧。贝努力说他不信，因为贝努力布置的第三题是古希腊数学家欧几里得留下的一个千年难题：运用尺规作图画出正17边形，包括牛顿在内的数学大神都无法解决，他怎么也不相信一个大二的学生能够解决这个难题。高斯由此声名大噪。 另外高斯预言非欧几何一定会存在，后来俄国数学家罗切巴夫斯基创立了罗氏几何，证明了高斯的预言。高斯还总结了复数应用，严格证明了n阶代数方程必有n个实数或者复数解，在数论领域，高斯将数论的研究水平推进到了新的高度。 高斯第一次严格证明了欧几里得时期就已经发现的数论学基础——算术基本定理，高斯创造性地引进了同余符号和同余式，使数论研究进入到崭新阶段。 高斯证明了二次互反律，这是初等数论的核心定理，堪称初等数论领域最璀璨的定理： 高斯在几何、物理、天文学方面都有卓越贡献，可谓是前无古人、后无来者的数学家，被称之数学王子。 后人根据数学家的贡献，选出了数学史上的四大伟人：阿基米德、欧拉、牛顿、高斯。如果将本文提到的这些大数学家比喻为天上璀璨的明星，那高斯就是天上的明月，相信读者们就可以理解高斯的成就了。 最后，再次向大神致敬。 |
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