三维坐标系旋转

bit54song 2020-03-21

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在做单目三维位姿估计（即估计目标物相对相机的姿态或相机相对目标物的姿态）时会用到solvepnp函数，

函数原型为：

cv2.solvePnP(objectPoints, imagePoints, cameraMatrix, distCoeffs[, rvec[, tvec[, useExtrinsicGuess[, flags]]]]) → retval, rvec, tvec

参数解释

objectPoints：世界坐标系中的3D点坐标，单位mm
imagePoints：图像坐标系中点的坐标，单位像素
cameraMatrix：相机内参矩阵
distCoeffs：畸变系数
rvec：旋转矩阵
tvec：平移矩阵
useExtrinsicGuess：是否输出平移矩阵和旋转矩阵，默认为false
flags：SOLVEPNP _ITERATIVE、SOLVEPNP _P3P、SOLVEPNP _EPNP、SOLVEPNP _DLS、SOLVEPNP _UPNP

内参矩阵和畸变系数都是要通过标定得到的，这个不细讲，opencv官方提供了有标定例子（或者参考我的这篇文章：用matlab标定获取相机内参矩阵和畸变系数）。函数输出的是旋转矩阵rvec和tvec。

本文就来说说得到了这个旋转矩阵rvec后，如何得知目标物实际的角度呢~

旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵，有3个自由度。处理旋转矩阵的问题时，通常采用旋转矩阵的方式来描述，也可以用旋转向量来表示，两者之间可以通过罗德里格斯（Rodrigues）变换来进行转换。

旋转矩阵和旋转向量间的转换请参考：旋转矩阵和旋转向量

其中，旋转向量的长度（模）表示绕轴逆时针旋转的角度（弧度）。

norm为求向量的模。

代码如下：

theta = np.linalg.norm(rvec)
r = rvec / theta
R_ = np.array([[0, -r[2][0], r[1][0]],
[r[2][0], 0, -r[0][0]],
[-r[1][0], r[0][0], 0]])
R = np.cos(theta) * np.eye(3) + (1 - np.cos(theta)) * r * r.T + np.sin(theta) * R_
print('旋转矩阵')
print(R)

反变换也可以很容易的通过如下公式实现：

空间中三维坐标变换一般由三种方式实现，第一种是旋转矩阵和旋转向量；第二种是欧拉角；第三种是四元数。下面介绍旋转矩阵(旋转向量)与欧拉角实现三维空间坐标变换的方法以及两者之间的关系。

旋转矩阵

对于一个三维空间的点 P(x,y,z)P(x,y,z)，要将其绕 zz 轴旋转 θθ 角度是可以很简单地用旋转矩阵来表示的

欧拉角

此处得到结论：自旋转的“先转的放前面”

定角（Fixed angles）

围绕固定的坐标系转动。固定坐标系的原点，坐标系再围绕已经固定的轴转动，全程原坐标系不动。

注意！移动位置的顺序可以调换，但是旋转的顺序不能调换，结果不一样。

以X-Y-Z型为例子：即先围绕X轴进行转动γ°，然后围绕Y轴进行转动β°，最后围绕Z轴进行转动α°。注意逆时针为正方向。

X-Y-Z型公式：

重点：先转的轴的 $\large R$ 放后面运算，如下

代码：

def isRotationMatrix(R):
Rt = np.transpose(R)   #旋转矩阵R的转置
shouldBeIdentity = np.dot(Rt, R)   #R的转置矩阵乘以R
I = np.identity(3, dtype=R.dtype)           # 3阶单位矩阵
n = np.linalg.norm(I - shouldBeIdentity)   #np.linalg.norm默认求二范数
return n < 1e-6                            # 目的是判断矩阵R是否正交矩阵（旋转矩阵按道理须为正交矩阵，如此其返回值理论为0）
def rotationMatrixToAngles(R):
assert (isRotationMatrix(R))   #判断是否是旋转矩阵（用到正交矩阵特性）
sy = math.sqrt(R[0, 0] * R[0, 0] + R[1, 0] * R[1, 0])  #矩阵元素下标都从0开始（对应公式中是sqrt(r11*r11+r21*r21)），sy=sqrt(cosβ*cosβ)
singular = sy < 1e-6   # 判断β是否为正负90°
if not singular:   #β不是正负90°
x = math.atan2(R[2, 1], R[2, 2])
y = math.atan2(-R[2, 0], sy)
z = math.atan2(R[1, 0], R[0, 0])
else:              #β是正负90°
x = math.atan2(-R[1, 2], R[1, 1])
y = math.atan2(-R[2, 0], sy)   #当z=0时，此公式也OK，上面图片中的公式也是OK的
z = 0
return np.array([x, y, z])

备注：np.linalg.norm(求范数)

举例：

由角度推旋转矩阵

由旋转矩阵推角度

欧拉角（Euler angles）

“自旋转”，围绕当下（自己）的坐标系某轴转动，就是每次旋转，都固定被围绕的某一轴，另两轴动。

每次旋转，整个坐标系都会改变位置。

以Z-Y-Z型为例的公式：

重点：先转的轴的 $\large R$ 放前面运算，如下

举例：

矩阵转角度:

注意：自旋转的“先转的放前面”

欧拉角转旋转矩阵

欧拉角通过将刚体绕过原点的轴(i,j,k)旋转θ，分解成三步，如下图（蓝色是起始坐标系，而红色的是旋转之后的坐标系）
这里写图片描述
如果将每一个角度用旋转矩阵表示如下：

所以，容易得到，欧拉角转旋转矩阵如下：

代码：

/**
欧拉角计算对应的旋转矩阵
**/
Mat eulerAnglesToRotationMatrix(Vec3f &theta)
{
    // 计算旋转矩阵的X分量
    Mat R_x = (Mat_<double>(3,3) <<
               1,       0,              0,
               0,       cos(theta[0]),   -sin(theta[0]),
               0,       sin(theta[0]),   cos(theta[0])
               );
    // 计算旋转矩阵的Y分量
    Mat R_y = (Mat_<double>(3,3) <<
               cos(theta[1]),    0,      sin(theta[1]),
               0,               1,      0,
               -sin(theta[1]),   0,      cos(theta[1])
               );
    // 计算旋转矩阵的Z分量
    Mat R_z = (Mat_<double>(3,3) <<
               cos(theta[2]),    -sin(theta[2]),      0,
               sin(theta[2]),    cos(theta[2]),       0,
               0,               0,                  1);
    // 合并 
    Mat R = R_z * R_y * R_x;
    return R;
}

旋转矩阵转欧拉角

将旋转矩阵表示如下：
这里写图片描述
则可以如下表示欧拉角：

代码：

/**
* 功能： 1. 检查是否是旋转矩阵
**/
bool isRotationMatrix(Mat &R)
{
Mat Rt;
transpose(R, Rt);
Mat shouldBeIdentity = Rt * R;
Mat I = Mat::eye(3,3, shouldBeIdentity.type());
return  norm(I, shouldBeIdentity) < 1e-6;
}
/**
* 功能： 1. 通过给定的旋转矩阵计算对应的欧拉角
**/
Vec3f rotationMatrixToEulerAngles(Mat &R)
{
assert(isRotationMatrix(R));
float sy = sqrt(R.at<double>(0,0) * R.at<double>(0,0) +  R.at<double>(1,0) * R.at<double>(1,0) );
bool singular = sy < 1e-6; // If
float x, y, z;
if (!singular) {
x = atan2(R.at<double>(2,1) , R.at<double>(2,2));
y = atan2(-R.at<double>(2,0), sy);
z = atan2(R.at<double>(1,0), R.at<double>(0,0));
} else {
x = atan2(-R.at<double>(1,2), R.at<double>(1,1));
y = atan2(-R.at<double>(2,0), sy);
z = 0;
}
return Vec3f(x, y, z);
}

旋转向量转欧拉角（经过四元数）代码如下：

# 从旋转向量转换为欧拉角
def get_euler_angle(rotation_vector):
# calculate rotation angles
theta = cv2.norm(rotation_vector, cv2.NORM_L2)
# transformed to quaterniond
w = math.cos(theta / 2)
x = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[0][0] / theta
y = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[1][0] / theta
z = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[2][0] / theta
ysqr = y * y
# pitch (x-axis rotation)
t0 = 2.0 * (w * x + y * z)
t1 = 1.0 - 2.0 * (x * x + ysqr)
print('t0:{}, t1:{}'.format(t0, t1))
pitch = math.atan2(t0, t1)
# yaw (y-axis rotation)
t2 = 2.0 * (w * y - z * x)
if t2 > 1.0:
t2 = 1.0
if t2 < -1.0:
t2 = -1.0
yaw = math.asin(t2)
# roll (z-axis rotation)
t3 = 2.0 * (w * z + x * y)
t4 = 1.0 - 2.0 * (ysqr + z * z)
roll = math.atan2(t3, t4)
print('pitch:{}, yaw:{}, roll:{}'.format(pitch, yaw, roll))
	# 单位转换：将弧度转换为度
Y = int((pitch/math.pi)*180)
X = int((yaw/math.pi)*180)
Z = int((roll/math.pi)*180)
return 0, Y, X, Z