八年级数学开学摸底考AB卷（人教版）

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x≤3  B．x＞3    C．x＞-3   D．x≥3

【答案】D

【解析】

由题意可知：2x-6≥0，
∴x≥3，故选：D．

2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是

A. 30,40,50，  B.7,12,13  C.5,9,12      D.3,4,6

【答案】 A  

【解析】三条线段能否构成直角三角形，主要看较短两线段的平方和是否等于最长线段的平方．

30+40=50，故选A．

3.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（　　）

A．∠BDC＝∠ABD   B．∠DAB＝∠DCB  C．AD＝BC   D．AC⊥BD

【答案】 D  

【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故D错误．

解：平行四边形的对角线互相垂直则是菱形；

故AC⊥BD是错误的，

故选：D．

4.在中，最简二次根式的个数为（）

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

【答案】 A

【解析】不是最简二次根式，是最简二次根式.故选：A.

5.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于

   

A.3㎝  B.4㎝      C.5㎝     D.6㎝

【答案】A 

【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可知：

由折叠的性质可知：DC=DE,AC=AE=6，∠DEA=∠C=90°

∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°

设DC=则BD=8-，DE=，

在Rt△BED中，由勾股定理得：BE+DE=BD，

即4+=，

解得：=3，

∴CD=3 ．

6.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC    B．AB＝DC，AD＝BC   

C．AO＝CO，BO＝DO   D．AB∥DC，AD＝BC

【答案】D 

【解析】解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；

D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；

故选：D．

7.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|﹣的结果为(   )

A．b   B．2a﹣b  C．﹣b   D．b﹣2a

【答案】A

【解析】由数轴可知，a＜0＜b，

则a﹣b＜0，

则|a﹣b|﹣＝﹣a+b+a＝b．

故选：A．

8.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为(  )

   

A.12m    B.13m     C.16m      D.17m

【答案】 D  

【解析】由题意得AD=AC,DB=2,BC=8.

由勾股定理，得AC=AB+8即AD=(AD-2)+8 .  解得AD=17 .

9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（　　）

A．4  B．3  C．5  D．5

【答案】 B

【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∵AE垂直平分OB，

∴AB＝AO，

∴OA＝AB＝OB＝3，

∴BD＝2OB＝6，

∴AD=；

故选：B．

10.如图，矩形中，与交于点，于点，平分，交的延长线于点，，，则为　　

A．   B．  C．   D．

【答案】 C

【解析】由矩形的性质可得，，结合角平分线的定义可求得，可证明，结合矩形的性质可得，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．

【解答】证明：四边形为矩形，

，，，

，

又，

，

，

，

又平分，

，

，

，

又，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11.计算：　　；

　　；

【答案】-，

【解析】解：

；

12.  已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为　　；

【答案】或13．

【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

解：当12是斜边时，第三边长=；

当12是直角边时，第三边长=

故第三边的长为：或13．

13.  若实数m、n满足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是_______．

【答案】10

【解析】

由题可知，│m－2│≥0，≥0.又∵│m－2│＋＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2,2,4，因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2,4,4，，此时满足三角形三边关系，则C_△ABC＝4＋4＋2＝10.故答案是10.

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝　cm．

【答案】3

【解析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD＝6cm，再根据中位线的性质可得EF＝AB＝3cm．

解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴AB＝2CD，

∵CD＝3cm，

∴AB＝6cm，

∵E、F分别是BC、CA的中点，

∴EF＝AB＝3cm，

故答案为：3．

15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为　　．

【答案】25

【解析】根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的和等于最大的正方形的面积，已知最大的正方形的边长则不难求得其面积．

【解答】解：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；

C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形的另一直角边的平方，

则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，

因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．

故答案为25．

16.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是　　．

【答案】（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．

【解析】先由矩形的性质求出OD＝5，分情况讨论：（1）当OP＝OD＝5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；

（2）当PD＝OD＝5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；

②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．

解：∵A（﹣10，0），C（0，3），

∴OA＝10，OC＝3，

∵四边形OABC是矩形，

∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝3，

∵D是OA的中点，

∴AD＝OD＝5，

分情况讨论：

（1）当OP＝OD＝5时，根据勾股定理得：PC＝＝4，

∴点P的坐标为：（﹣4，3）；

（2）当PD＝OD＝5时，分两种情况讨论：

①如图1所示：作PE⊥OA于E，

则∠PED＝90°，DE＝＝4，

∴PC＝OE＝5﹣4＝1，

∴点P的坐标为：（﹣1，3）；

②如图2所示：作PF⊥OA于F，

则DF＝＝4，

∴PC＝OF＝5+4＝9，

∴点P的坐标为：（﹣9，3）；

综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；

故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．

三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

17.计算

(1)；

【解析】原式＝

＝

＝；

(2)

【解析】原式=

=20-3+27+8

=52-12.

18.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

  

【解析】连接AC，如图所示：

∵∠B=90°，

∴△ABC为直角三角形，

又∵AB=3，BC=4，

∴根据勾股定理得：AC=,

又∵CD=12，AD=13，

∴AD=13=169，CD+AC=12+5=144+25=169，

∴CD+AC=AD,

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则

S=S+S

  =ABBC+ACCD

  =34+512

  =36

故四边形ABCD的面积是36．

19.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．

求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．

【解析】先证∠BCG＝∠DCE，再证明△BCG≌△DCE，即可得出结论．

证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，

∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，

∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，

即：∠BCG＝∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG＝DE，

（2）∵△BCG≌△DCE，

∴∠GBC＝∠EDC，

∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，

∴∠DOG+∠EDC＝90°，

∴BG⊥DE．

20.如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．

【解析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；

（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BD，

∵BE＝DF，

∴AF＝CE，AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE＝CF．

（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴OE＝OC，

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA＝OC，OE＝OF，

∴AC＝EF，

∴四边形AECF是矩形．

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题10分，共40分）

21.先化简，再求值：，其中．

【解析】

原式=．

当时，原式=．

22.如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．

（1）求证：△ADO≌△CBO．

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．

【解析】（1）由ASA即可得出结论；

（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论；

（3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD=，即可得出答案．

（1）证明：∵点O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∵AM∥BN，

∴∠DAC＝∠ACB，

在△AOD和△COB中，

∴△ADO≌△CBO（ASA）；

（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，

∴AD＝CB，

又∵AM∥BN，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AM∥BN，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABN，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AD＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD＝CB，

又DE⊥BD，

∴AC∥DE，

∵AM∥BN，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC＝DE＝2，AD＝EC，

∴EC＝CB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴EC＝CB＝AB＝2，

∴EB＝4，

在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝，

∴

23.如图：是长方形纸片ABCD折叠的情况，纸片的宽度AB=8㎝，长AD=10㎝，AD沿点A对折，点D正好落在BC上的M处，AE是折痕．

  

（1）求CM的长；

（2）求梯形ABCE的面积．

【解析】（1）在Rt△ABM中，

AB=8㎝，AM=AD=10㎝，

根据勾股定理得：BM==6㎝，

∴CM=10-6=4（㎝）

（2）在Rt△MCE中，ME=EC+MC,

设：CE的长为㎝。

即（8-）=4+，

解得=3，

∴S=(AB+CE)BC

  =(8+3)10

  =55（cm）.

24.问题背景：在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为求这个三角形的面积 . 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1 所示．这样不需求点△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

  

（1）请你将点△ABC的面积直接填写在横线上    ．

（2）画△DEF,DE,EF,DF三边的长分别为

  ①判断三角形的形状，说明理由．

  ②求这个三角形的面积．

【解析】(1)如图，

（2）①

如图2所示，△DEF为直角三角形；

∴△DEF为直角三角形．

②

答：△DEF的面积为．

2020年开学摸底考八年级数学摸底考B卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1.下列属于最简二次根式的是(   )

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】

A．=2，不符合题意；
B．是最简二次根式；
C．=2，不符合题意；
D．=，不符合题意；故选：B．

2.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=2，b=3，c=4   B．a=5，b=12，c=13

C．a=6，b=8，c=10    D．a=3，b=4，c=5

【答案】A

【解析】解：A选项中，∵2²+3²=4²，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；

B、C、D选项的三个数都满足这种关系，能作为直角三角形的三边长．

故选A．

3.正方形具有而菱形不具有的性质是　　

A．对角线互相平分  B．对角线相等 

C．对角线平分一组对角  D．对角线互相垂直

【答案】B

【解析】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；

菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．

故选：．

4.下列运算正确的是（　　）

A．a³·a²=a⁶ B．a^﹣2=﹣  C．3﹣2=   D．（a+2）（a﹣2）=a²+4

【答案】C

【解析】

A、a³·a²=a⁵，故A选项错误；

B、a^﹣2=，故B选项错误；

C、3﹣2=，故C选项正确；

D、（a+2）（a﹣2）=a²﹣4，故D选项错误，故选C

5.下列命题：

①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；

③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a²：b²：c²=2：1：1．

其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

【答案】C

【解析】根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．

【解答】解：如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，所以①正确；

如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边是13或，所以②错误；

如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误；

一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a²：b²：c²=2：1：1，所以④正确．

故选C．

6.如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则的度数为　　

A．    B．  C．    D．

【答案】C

【解析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，即可求解．

解：四边形是菱形

，且

，分别是，的中点，

故选：．

7.已知（4+）·a=b，若b是整数，则a的值可能是（　　）

A．  B．4+    C．4﹣   D．2﹣

【答案】C

【解析】

（4+）×（4-）=4²-（）²=16-3=13，是整数，

所以a的值可能为4-，故选C

8.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A．25海里    B．30海里    C．35海里    D．40海里

【答案】D．

【解析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC=90°，

两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，

根据勾股定理得： =40（海里）．

故选D．

9.已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为　　

A．  B．    C．  D．

【答案】D

【解析】利用等边三角形和正方形的性质求得，然后利用等腰三角形的性质求得的度数，从而求得的度数，利用三角形的内角和求得的度数．

解：，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

同理可得，

，

故选：．

10.△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

A．14  B．4    C．14或4  D．以上都不对

【答案】C．

【解析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．

解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD²=AB²﹣AD²=13²﹣12²=25，

则BD=5，

在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD²=AC²﹣AD²=15²﹣12²=81，

则CD=9，

故BC=BD+DC=9+5=14；

（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD²=AB²﹣AD²=13²﹣12²=25，

则BD=5，

在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD²=AC²﹣AD²=15²﹣12²=81，

则CD=9，

故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．

故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11.化简的结果为_____．

【答案】+1

【解析】

原式＝[（﹣1）（+1）]²⁰¹⁷·（+1）＝（2﹣1）²⁰¹⁷·（+1）＝+1．

故答案为：+1．

12.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　　，逆命题是　　命题（填“真”或“假”）．

【答案】两个角相等三角形是等腰三角形，真．

【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假．

解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．

故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真．

13.已知，则xy²=_________．

【答案】18

【解析】根据题意得，x-2≥0且4-2x≥0，

解得x≥2且x≤2，

所以，x=2，

y=3，

∴.

故答案为：18.

14.如图，在矩形中，对角线与相交于点，平分交于点，若，则的度数等于　　．

【答案】

【解析】由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，推出，求出、的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到，根据三角形的内角和定理即可求出答案．

解：四边形是矩形，

，，，，，

，，

平分，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

．

故答案为．

15. 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　　cm．

【答案】．

【解析】

解：将长方体的每相邻侧面展开成一个侧面，蚂蚁从A到B的爬行距离有三种情况：
（1）如图1，前面与上面，A到B的距离为AB=（㎝）

（2）如图2，前面与右面，A到B的距离为AB=（㎝）
（3）如图3，左面与上面，A到B的距离为AB=（㎝）

∵
∴蚂蚁所行的最短路线为cm．

故答案为：

16.如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：

①；

②；

③点到各边的距离相等；

④设，，则．

其中正确的结论是　．（填序号）

【答案】①②③

【解析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④错误．

解：在中，和的平分线相交于点，

，，，

，

；故②正确；

在中，和的平分线相交于点，

，，

，

，，

，，

，，

，

故①正确；

过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，

，；故④错误；

在中，和的平分线相交于点，

点到各边的距离相等，故③正确．

故答案是：①②③

三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

17.计算

(1)

【解析】

原式=

=1××

=10；

(2)

【解析】

原式=+（3﹣1）

=3+2

=5；

18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

【解析】（1）用勾股定理求出斜边AB的长度；

（2）用面积就可以求出斜边上的高．

解：（1）在Rt△ABC中

由勾股定理得：AB==10；

（2）由面积公式得：S_△ABC=AC·BC=AB·CD

∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8．

19.如图，已知菱形的对角线，相交于点，过作，交的延长线于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，求的度数．

【解析】（1）直接利用菱形的性质对角线互相垂直，得出，进而得出答案；

（2）利用菱形、平行四边形的性质得出，进而利用三角形内角和定理得出答案．

（1）证明：四边形是菱形，

，，

又，

，

四边形是平行四边形；

（2）解：四边形是菱形，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

．

20.如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，求BF．

【解析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．

解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；

在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，

若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；

在Rt△ABF中，由勾股定理可得：

8²+（x﹣4）²=x²，解得x=10，

故BF=x﹣4=6．

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题10分，共40分）

21.已知a＝3＋2，b＝3－2，求a²b－ab²的值．

【解析】

∵a＝3＋2，b＝3－2，

∴ab=,

∴.

22如图，点，，，依次在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，已知，，．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）若，，，当四边形是菱形时，求的长．

【解析】（1）想办法证明即可解决问题．

（2）利用全等三角形的性质证明即可解决问题．

（1）证明：，

，

，

，，

∴△ABE≌△DCF(AAS)

，，

四边形是平行四边形．

（2）解：四边形是菱形，，

是等边三角形，

，

，，

∴AB=(10-3)=

23.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

【解析】设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．

解：设AE=xkm，则BE=（25﹣x）km；

在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE²=AE²+AC²=x²+15²；

同理可得：DE²=（25﹣x）²+10²；

若CE=DE，则x²+15²=（25﹣x）²+10²；

解得：x=10；

答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．

24.阅读材料：(一)如果我们能找到两个实数x、y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”.

例如：.

(二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化.

根据阅读材料解决下列问题：

(1)化简“和谐二次根式”：①___________，②___________；

(2)已知，，求的值；

(3)设的小数部分为，求证：.

【答案】

①，②；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）解：①

②

（2）

，

；

（3）证明：

∵6-的整数是4

∴6-的小数部分是6--4=2-