中考数学丨托勒密定理的证明及其应用题！

一、托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

（若四边形ABCD内接于⊙O，则AC·BD=AD·BC+AB·DC）

二、托勒密定理的证明：

若四边形ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

证明：

如下图所示：

设∠ACB大于∠ACD，则在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图中的红色角）。

∵∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），

∴三角形ACD∽BCE，

∴AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE①

同理，三角形CDE∽ABC，

∴CD ：AC = DE ：AB，即AB·CD=AC·DE②

①+②=AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD

即：AC·BD=AB·CD+AD·BC

三、典型例题

（1）

（2）

举一反三练一练：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）