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【上海新东方中学频道-初中数学三角函数N倍角公式】不论是二倍角公式、或是三倍角公式、又或者四倍角公式等等，需要的推理过程都是一样的。
N倍角公式
根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+
i sin(nθ)
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ)+ i
sin(nθ)
= (c+ i s)^n
= C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i
s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...
+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 +
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...
=>;比较两边的实部与虚部
实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n
+ C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...
i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 +
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...
对所有的自然数n，
⒈ cos(nθ)：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
⒉ sin(nθ)：
⑴当n是奇数时：
公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。
⑵当n是偶数时：
公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。
(例.
c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
初中数学的N倍角公式在试题的应用中很广，也很有难度。 |
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