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2019 年高考新课标Ⅲ卷文科数学 压轴题多解探析 刘春红（天津市第七中学天津300143） 高成龙（天津外国语学校天津300143 ) 文章发表于《理科考试研究·数学版·》2020年2月 摘要: 证明不等式的方法灵活多样，既可以从函数角度进行分析，也可以以几何背景入手探究. 本文对于2019年高考新课标Ⅲ卷文科数学压轴题中的不等式题目，先给出命题组所提供的参考答案，然后给出本题多视角下的求证思路． 关键词: 函数; 不等式; 几何背景 1 真题再现 分析 本题考查的内容是选修4 － 5 中不等式选讲部分，考点是常见的均值不等式和柯西不等式等．采用分析法思考，若想得到题中不等式的最值，应先变形凑成柯西不等式的结构特征，再根据已知条件添上和为常数的各项，最后再由公式得出结论，重点考查学生的化简运算能力和推理能力． 评注 消元的想法简单，但化简的过程比较繁琐，使用的关键是如何巧妙地进行配方． 2. 4 利用几何意义证明 许多不等式有着丰富的几何意义，从图象和代数结构两种不同角度探究不等式，有助于加深对不等式的认识，观察题中代数式的几何意义，变抽象为直观，利用图形的特征更好地理解代数结论的意义. 评注 从式子所表示的几何意义入手，通过建立坐标系简化计算，结论充分体现了数与形的完美结合，突出代数运算与几何直观之间的融合，通过形与数的结合，能让学生感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解． 3 第( 2) 问思路探析 3. 1 利用消元配方 本题第( 1) 问的求解思路中采用了消元的方法，第( 2) 问中变量又多了一个，我们不妨也试着消元，再配方得出所求参数的取值范围. 这种想法比较顺畅， 重点在于化简运算. 3. 3 利用几何意义证明 数形结合思想方法在高中阶段具有突出的地位，借助“形”的直观可以更好地理解“数”的抽象，直观与抽象互补. 乍看不等式与几何图形好像没有多大关系，但仔细分析后可构造出不等式的几何意义，从而巧妙地利用几何的相关知识来解决.
评注 本题的两问所蕴含的几何意义都是一个点与平面x y z = 1 上的点所成线段长度，点到平面的距离即为线段长度的最小值，第( 1) 问是一个定点，第( 2) 问是一个含a 的动点，思考过程类似． 4 总结 反思 不等式选讲部分的内容是近几年来全国各省市高考的热点，这一部分内容需引起一线教师的高度重视. 高中出现的不等式主要有基本不等式、柯西不等式、排序不等式等，熟练掌握这些公式的形式与意义，有助于我们在短时间内更好地解决问题，同时从函数角度和不等式的几何意义出发分析问题，更有助于开拓思路，提升数学素养． 曹才翰在《中国数学教学百科全书. 数学卷》中指出“数学运算能力是运算技能与逻辑思维等独特结合的一种能力，它是通过数学解题而逐步发展起来的，所以运算能力的研究主要从学生的数学解题活动中来分析”，由此可见，在实际教学中，教师要剖析高考题目，认真分析题目的根源，总结和归纳题目的解法，让学生能做一题通一类，真正实现触类旁通． 另外课堂上鼓励学生一题多解，强调一题多解的重要性，通过启发和指导学生从不同的层面、不同的角度用不同的的运算过程去分析和解决同一题目，进一步提高综合素质和数学素养．
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