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提要 分式方程是一元一次方程，二元一次方程等整式方程的拓展。一般的，解分式方程时应先将分式方程转化为整式方程，然后求出转化后整式方程的解，再经过检验得到分式方程的解或说明分式方程无解。解决分式方程增根的有关问题同解分式方程一样，是将分式方程转化为整式方程。 知识全解 一．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例如，3/x=-1，1/(x-2)=3/x等都叫做分式方程；而(x-1)/2=2x/3中尽管某些项含有分母，但分母中不含有未知数，因此，它们仍然是整式方程，而不是分式方程。 分母中是否含有未知数是区分整式方程和分式方程的一个显著标志。 二．解分式方程的步骤 （1）解分式方程的基本思路是“转化”，计把分式方程转化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母。 （2）分式方程的解法一般步骤如下 ①在方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程。 ②解这个整式方程。 ③检验：解分式方程必须检验，检验的方法是将整式方程的解代入最简公分母（或每个分母），如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（有的地方称其为原方程的增根）。 提示 （1）检验是把解得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （2）解分式方程的基本思路是化为整式方程。通常有两种做法：一是去分母；二是换元。 三．分式方程的增根 将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。 提示 （1）分式方程增根产生的原因：在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于变形时扩大了未知数的取值范围造成的。 ①如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根。例如，将方程x-2=0的两边都乘以x，变形成x(x-2)=0，新方程就比原方程多出一个根x=0，这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边，而这是违反同解原理的。 ②解分式方程时，去分母可能会出现增根。去分母后所得整式方程的根可能使原方程公分母为0。判别增根，应把所解方程的根代入最简公分母，看其值是否为0，如果等于0，则这个根为增根。 （2）分式方程无解包括两种情况：一是解分式方程产生增根时无解；二是将分式方程转化为整式方程，此整式方程无解，此时分式方程也无解。 方法点拨 类型1 解方程：x/(x-1)-2/(x+1)=1 【分析】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘以这个公分母时不要漏乘，解完后记得验根。 解得x=3/2 经检验，x=3/2是原方程的根。 【方法总结】本题在去分母时一定要注意两点，即不能漏乘1，不能忽视“-”。 例2 解方程： 【分析】若直接乘以最简公分母以便约去分母，则计算量较大，太麻烦，故可选择左右两边分别通分后再求解，或者把左右两边化简后再进一步求解，最后都要验根。 【解答】方程两边分别通分，得 方程两边都乘以(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)，约去分母，得(x+5)(x+7)=(x+1)(x+3) 化简，得 即8x=-32，解得x=-4 经检验，x=-4是为原方程的解。 【方法总结】本题若能熟练地掌握多项式地乘法，注意符合的变换，则能快速准确地求解。 类型2 分式方程的增根或无解问题 例3 若解分式方程 时产生增根，则m的值是（） A. -1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2 【分析】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是x=0或x=-1，于是问题得解 【解答】去分母，得 把x=0或x=-1代入解得m=1或m=-2，故应选D 【方法总结】要注意观察方程，找出所有出现增根的可能性，这对解决问题有一定的帮助。 例4 若关于x的方程(x+m)/(x-3)=m无解，求m的值 【分析】先直接按照去分母的方法，化分式方程为整式方程，进而利用无解的意义讨论 【解答】一方面，去分母，整理，得（1-m）x=-4m ① 显然，当1-m=0，而4m≠0时方程无解，此时m=1 另一方面，若原方程有增根，即知增根为x=3 把x=3代入方程①中，得（1-m）×3=-4m，解得m=-3 综上所述，当m=1，或m=-3时，原分式方程无解。 【方法总结】通过本例的求解，可以发现，分式方程有增根时，原方程一定无解；若分式方程无解，既可能是因为有增根造成的，又可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0，b≠0造成的。 |
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