二次函数中“等角”与“倍角”的问题解析

例1：

【分析】

解答：

点评：

1、本例利用等角构造了基础相似图形：共边共角相似，以求得AD长。不可忽视的是一次函数y=x+1带给本题的45度角的作用。

2、方法二：求出AD后，可设D（x，x+1），利用两点间的距离公式，亦可以解出D点的坐标，进而求二次函数解析式。

例2：

【分析】

（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．

（2）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．

解答：

（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

 0+c=－4 1 2 ×4－2b+c=0   ，

解得：b=－1 c=－4  

∴抛物线的解析式：y=x2－x－4．

（2）由A（0，－4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

当点M在y轴正半轴时，

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB^2=AN·AM1；

易得：AB2=20，AN=OA－ON=4－2=2；

∴AM1=10

当点M在y轴负半轴时，

∵∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2．

综上，AM的长为10或2．

练习：

附答案：