专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和
基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，（
1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．解：（1）将代入，得．将，代入，得．∵是对称
轴，∴．因此，可得，．二次函数得解析式是．（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式
是，又对称轴为，∴点的坐标．（3）设、，所求圆的半径为r，则①，∵对称轴为，∴②。由①②得：③。将代入解析式，得
④。整理得：．由于圆与x轴相切，即有r=±y。当时，，解得，，（舍去）；当时，，解得，，（舍去）．所以圆的半径是
或．例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。（1）试用含a的代
数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在
⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上
方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A，
∴点A的坐标为（4，0）。又∵抛物线经过O、A两点，解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为（4，0）。又
∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线的对称轴为直线，，∴b=－4a。（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA，∴点O在⊙D
上，且∠DOA＝∠DAO。又由（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（）①当时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x
轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D''。∴点D''与点D也关于x轴对称，∵点O在⊙D''上，且OD
与⊙D''相切，∴点O为切点，∴D''O⊥OD∴∠DOA＝∠D''OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的
解析式为；②当时，同理可得：，抛物线的解析式为；综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或。（3）解：抛物线在x轴上方的部
分上存在点P，使得。设点P的坐标为（x，y），且y＞0。①当点P在抛物线上时（如图2），∵点B是⊙D的优弧上的一点过点
P作PE⊥x轴于点E由解得：（舍去）∴点P的坐标为；②当点P在抛物线上时（如图3）同理可得，。由解得：（舍去）∴点P的坐
标为；综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为或。注意：动点B的变化不影响∠OBA的大小。例3、如图，在直角坐标系中，⊙C
过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。（1）求圆心的坐标；（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶
点在正比例函数y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否
在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）∵⊙C经
过原点O，∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝O
A＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，∴顶点坐
标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为。（3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C
的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上。（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满
足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0或2＜x0＜3。例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于
A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两
点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的
P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点
是M（1，4），设解析式为，又抛物线经过点N（2，3），所以解得a＝－1。所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得：得
A（－1，0），B（3，0）；令x＝0，得y＝3，所以C（0，3）。（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k＝1，t＝3
。∴直线解析式为y＝x＋3.令y＝0，得x＝－3，故D（－3，0），∴CD＝。连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.
设过A、N两点的直线的解析式为y＝mx＋n，则解得m＝1，n＝1，所以过A、N两点的直线的解析式为y＝x＋1。所以DC∥AN
.在Rt△ANF中，AN＝3，NF＝3，所以AN＝所以DC＝AN。因此四边形CDAN是平行四边形。另：也可以证明CN∥AD。
（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则PA是圆的半
径，且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故
△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4-u|，PQ＝由得方程：，解得，舍去负值u＝，符合题意的u
＝，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）。例5、已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分
别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为优弧上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H
，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：（1）由抛物线可知，点C的坐
标为（0，m），且m＜0.设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m；又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽
△COB∴∴，即x1·x2＝－m2∴－m2＝3m，解得m＝0或m＝－3，而m＜0，故只能取m＝－3。这时，，因此，抛
物线的顶点坐标为（，－4）。另外，由AC⊥BC，也可以用AC2＋BC2=AB2来求m。（2）解法一：由已知可得：M（，0），
A（－，0），B（3，0），C（0,－3），D（0，3）∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE，∵DE是⊙M的直径
，∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，∴E点的坐标为（2，－3）。∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，∴∠ACO＝∠MDO
＝30°，∴AC∥DE；∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE，∴FG∥CB；由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线C
B的解析式为：y＝－3可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5故直线FG的解析式为y＝－5解法二：由抛物
线解析式可求得：A（－，0），B（，0），D（0,3），M(，0)，则有E（2，－3）。再由AO、CO、MO、DO的长度可得：∠A
C0=∠MDO=30°,结合DE=4，DE⊥FG可得：DG=8，∴G点坐标为（0，－5）。∴OG=5，∴OF
=OG·=5，∴F点的坐标为（5，0），再由E、G两点坐标可得直线FG的解析式为y＝－5。（自解）（3）解法一：存在常数k＝
12，满足AH·AP＝12连结CP由垂径定理可知，∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）又∵∠CAH＝∠PAC，∴△
ACH∽△APC，∴即AC2＝AH·AP在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12（或利用AC2＝AO·AB
＝×4＝12，∴AH·AP＝12。解法二：存在常数k＝12，满足AH·AP＝12设AH＝x，AP＝y由相交弦定理得HD·HC＝A
H·HP即，化简得：xy＝12，即AH·AP＝12。例6、抛物线()交x轴于点A(-1,0)、B（3,0）,交y轴于点C,顶点为
D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.(1)求顶点D的坐标(用的代数式表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点
P使△PBD为直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为∴∴点C（0，
－3a），D（1,－4a）；（方法二）由题意：，解得∴（下同方法一）（2）（方法一）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△
COB，∴∴∴，又∵∴故抛物线的解析式为：（方法二）过点D作DE⊥y轴于点E，过M作MG⊥y轴于点G，设⊙M交x轴于另一点H，
交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，则OH＝DE＝1，再证OF＝CE＝－a，由OH·OB＝OF·OC得：，∴（下同法一
）（方法三）用勾股定理，CD2＋CB2=BD2，也可得a2=1.（自解）（3）符合条件的点P存在，共3个：①若∠BPD＝
90°，P点与C点重合，则P1（0，3）（P1表示第一个P点，下同）②若∠DBP＝90°，过点P2作P2R⊥x轴于点R，设点P2，
由△BP2R∽△DBH得，，即，解得或（舍去），故③若∠BDP＝90°，设DP3的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB，
求得EN＝，∴N（0，）求得DN的解析式为求抛物线与直线DN的交点得P3（），综上所述：符合条件的点P为（0，3）、、（）。例7、
已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1.⑴求此抛物
线的解析式；⑵过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的方程；⑶设⊙
O′与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在
整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1)由已知，有解得∴抛
物线的解析式是y=-x2+2x+8.（2）令y=0，得方程-x2+2x+8＝0，解得x1=-2，x2=4.∴点A的坐标为(-
2，0).在⊙O′中，由相交弦定理，得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|，即2×4=8×|OD|，∴|OD|=1.∵点
D在y轴的负半轴上，∴点D的坐标为(0，-1).在Rt△AOD中，∵|OA|=2，|OD|=1，OE⊥AD，∴由勾股定理，有AD
==.又∵|OA|·|OD|=|AD|·|OE|，∴|OE|=.∵|OA|2=|AE|·|AD|，即22=|AE|，∴|AE|
=.同理，由|OD|2=|DE|·|AD|，得|DE|=.设点E(x，y)，且x<0，y<0.在Rt△AOE中，|AE|·|OE
|=|y|·|OA|，∴|y|=，∴y=-.在Rt△DOE中，|DE|·|OE|=|x|·|OD|，∴|x|=，∴x=-.∴点
E的坐标是(-，-).设直线OE的方程为y=kx(k≠0).∵直线OE经过点E(-，-)，∴-=-k，k=2.∴直线OE
的方程为y=2x.(3)在⊙O′中，∵对称轴x=1垂直平分弦AB，∴由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O′.∵C(0，8)
，∴由对称当得点P的坐标为(2，8).设直线BC的方程为y=kx+b(k≠0).则有解得∴直线BC的方程为y=-2x+8.
联立方程组解得∴点Q的坐标为(2，4).∵点P(2，8)，点Q(2，4)，∴PQ∥RS（因此，只有一种情况）.设点R的坐
标为(m，-m2+2m+8)，点S的坐标的(m，2m).要使四边形PQRS为平行四边形，已知PQ∥RS，尚需条件|RS|=|PQ
|.由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4，得|-m2+8|=4，解得m=±2，或m=±.而m=2,±不合题意，应
舍去.∴存在整数m=-2，使得以P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形.例8、如图3，已知抛物线，经过点A(0，5)和点
B（3，2）（1）求抛物线的解析式：（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相
切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r
的值解：（1）由题意，得；∴抛物线的解析式为（2）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况．设点P坐标为()，则有
：①当⊙P与y轴相切时，有|x0|=1，x0=±1由，得，由，得．②当⊙P与x轴相切时有∵抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方．
∴由，得，解得y0=2，∴P3(2，1).综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：（3）设点Q坐标为(x，y)
，则当⊙Q与两条坐标轴都相切时，有y=①由y=x得，解得；②由，得，此方程无解；∴⊙O的半径为。例9、已知：如图，抛物线的图
象与轴分别交于两点，与轴交于点，⊙M经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）．（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求⊙M的面积；
（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与⊙M相切，并请说明理由．解：（1）抛物线，的坐标为。（2）连；∵
⊙M过，为⊙M的直径．可求得A点坐标为（－3，0），B点坐标为（1，0），∴，∴AC=2，，。（3）当点运动到的中
点时，直线与⊙M相切。理由：在中，．点是的中点，∴=，，。在中，，，为等边三角形。，又为直径，∴GA与⊙M相切。综上，当为
的中点时，是⊙M的切线。（3）正面推：可得A（－3，0），B（1，0），C（，0），易得∠CAO=∠BCO=30°，∴
BC⊥AC.又GA与⊙M相切，∴GA⊥AC，∴∠GAC=90°，且GA∥BC，易得此时△GAF∽△CBF，设OF=x，
则AF=3－x，BF=1＋x，CF=，又FG=2，因此有：怎么解？例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为
边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点．（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且
与相交于点．若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴
上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．AEODCBGFxyl解：（1）在和中，四边形是正方形，．又，．（2
）由（1），有，．点．是的外心，点在的垂直平分线上．又BD是直径，可得BE⊥DO，点也在的垂直平分线上．为等腰三角形，．而，．．设
经过三点的抛物线的解析表达式为．抛物线过点，．．①把点，点的坐标代入①中，得即解得抛物线的解析表达式为．②（3）假定在抛物线
上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上．是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点．AEODCBGF
xylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形．．．把点，点代入中，得直线的解析表达式为．设点，则有．
③把③代入②，得，，即．．解得或．当时，；当时，．在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上．例11、若抛物线y=x2-(m+
3)x+m+1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作⊙O1、⊙O2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x
轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)如果两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内
切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当M点的坐标为(1，0)，试证：OA＜OM＜?OB；(7)如果两圆外切,且⊙O1、⊙O2的周
长之比为2:1，求m的值；(8)若两圆面积之和为π，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。解：设y=x2-(m+
3)x+m+1与x轴交于A(x1，0)、B(x2,0)，显然x1＜x2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点
的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-
(m+3)x+m+1=0的根的判别式△＞0△=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4＞0显
然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则OA=OB，且点A，点B分布在原点的两侧，又因为x1＜x
2，∴x1＜0，x2＞0则OA=|x1|=-x1OB=|x2|=x2，∴-x1=x2，即x1+x2=0。所以，m+3=0，m
=-3。另：由OA=OB可得抛物线顶点在y轴上，可知-(m+3)=0.(3)以OA、OB为直径的两圆，若外切，则A点和
B点必然分布在原点O的两侧。所以有x1·x2＜0,即m+1＜0,则m＜-1.(4)这是一道开放题。该命题可转化成：要确定点B能否
在原点的左侧，就是要确定x2能否取负数？若x2能取负数的话，则下列不等式组必有解集。?显然上述不等式组的解集为空集，故x2不可能取
负数，即点B不可能在x轴的左侧。(5)两圆内切时，其切点必为原点O，且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或
都在原点的右侧两种情况进行讨论。①若点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。②若点A、点B都在原点的右侧，显然有x1＞0，x2＞0，则∴m＞-1.(6)由(5)知，若两圆内切,则点A、点B必在原点O的右侧，∴x1＞0，x2＞0则有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证明OA＜OM＜OB，即证x1＜1＜x2；就是要证明：x1＜1且x2＞1；即证：x1-1＜0且x2-1＞0；即证：(x1-1)(x2-1)＜0；而(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=m+1-(m+3)+1=-1＜0故本小问可证。(7)因为两圆外切时，C⊙O=OAπ=|x1|π=-πx1；C⊙O=OBπ=|x2|π=πx2；所以；即x1+2x2=0.则可由方程组求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为π时，则S；S；则；∴OA2+OB2=7；即x12+x22=7.则根据根与系数的关系，此时的m值可求。(9)因为相切两圆的外公切线的长为：2(其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径)所以2；即；∴OA·OB=9；∴-x1·x2=9；则-(m+1)=9；即有；m=-10. |
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