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平行四边形中的几何模型 一、基础知识 条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．可以通过补全图形，从而构造熟悉的结构： 三角形的三线：底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线. 二、方法技能 1．几何计算、证明的基本思考流程 ①标注条件，合理转化； ②组合特征，分析结构； ③由因导果，执果索因． 2．特殊四边形中隐含条件 ①平行四边形中隐含条件：平行、中点； ②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； ④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． 3．四边形中常见几何结构举例 ①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点； ②旋转结构：等线段共点，对角互补； ③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂； ④面积结构：三个“一半”，平行转化． 三、典例精讲
1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC= 2AB ，CE⊥AB 于点E，F为AD的中点，若∠AEF = 54°，则∠B = ．
【分析】（体会条件组合与搭配） 方法一： ①AB∥CD ，F为AD 的中点；→平行夹中点→延长证全等； ② ∠GCE = ∠CEB= 90° ，F为AD的中点；→直角+中点→直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ∴易证△AFE≌△DFG (SAS) ， ∴EF=FG ∵∠GCE=∠CEB = 90°， ∴EF=GF=CF ∵BC=2AB ， ∴FD=CD ∵∠AEF=54° ， ∴∠FEC=∠FCE = 36° ，∠CFD=∠FCD=∠G=54° ∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°
方法二： F为AD的中点，取CE中点造梯形AECD 的中位线（构成△CEF 两线合一）∵∠AEF=54° ， ∴∠FEC=∠FCE=36°，∠CFD=∠FCD=54° ∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°
方法三： ∵CE⊥ AB 于点E ， ∴取BC中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 又∵BC=2AB ， ∴BG=EG=CG=CD=FD=AF ， ∴AB∥FG∥CD ， ∴∠GEF=∠GFE=∠AEF=54°，∠B=∠GEB=72°
2．如图，在菱形ABCD中，∠A =110° ，E 、F分别是边AB 、BC的中点，若EP⊥CD于点P ，则∠FPC= ．
【分析】 四边形ABCD是菱形，F分别是边BC的中点，构成平行夹中点→延长证△BEF≌△CGF(SAS) ∴EF=FG=FP ，AE=BE=BF=FG（菱形的四边相等） ∴∠B=70°,∠BFE=∠BEF=∠G=∠FPC=55°
3．如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E，F分别在边AB，AD上，且AE=DF连接BF,与DE相交于点G，连接CG,与BD相交于点H ．则下列结论： ①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°
其中正确的是 ．（填序号）
【分析】 ①△AED≌△DFB（SAS）， ∴①正确 ②由△AED≌△DFB 得∠1 = ∠2 ， ∴∠BGE=∠1+∠3=∠2+ ∠3 = 60°，∠BGD =120° ∴②正确 ③∵∠BGD+∠BCD=120°+ 60° =180° （对角互补）,CD = CB（等线段共点C） ∴可以考虑将△CDG绕点C逆时针旋转60°到△CBM ，也可将△CBG绕点C 顺时针旋转60° 注意：辅助线的叙述与三点共线 叙述一：将△CDG旋转到△CBM ，必须根据对角互补说明G、B、M三点在一条直线上； 叙述二：延长GB至M ，使BM=DG（保证了G、B 、M 三点在一条直线上)，连接CM，此法只需要证明△CBM≌△CDG(SAS) ，从而证得△CGM是等边三角形. ∴
∴③正确
4.（2019）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点，点P是射线AD (与A重合)上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，AP的长为 .
【分析】 ∵点P是射线AD上的一点，且不与A重合， ∴∠BCP=90° ∵∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点， ∴
四、典型练习
【思路分析】 本题给出F为AD的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角．
综上，其中一定正确的是①②④．
【思路分析】 本题给出AB=OB ，点E是OA的中点（等腰+中点构三线合一） ∴连接BE得BE⊥ AC
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，点E在BC边上，AE=BE ，F是CD边的中点，且AF⊥AB ．若AD=2.7 ，AF=4，AB=6，则CE的长为 ．
【思路分析】 本题给出AD∥BC，F是CD边的中点，这是很典型的“平行夹中点” ∴延长AF，BC交于点G ，易证△ADF≌△GCF， ∴AF=FG=4 ， ∵AF⊥AB ， ∴由勾股定理可得BG=10． ∵AE=BE ，∴∠B=∠2 ， ∴∠B+∠G=∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠G ，AE=EG=BE=5， ∴CE=5-2.7=2.3
【思路分析】 本题给出正方形内含有正方形结构， ∴构造弦图易证：△ABC≌△GFB， △AOB≌△GOF得OA=OG，∠AOG=90°，AG=12 ， ∴AC=GB=12+4=16
【思路分析】 本题给出ABCD是正方形，∠CED=90° ， ∴∠COD+∠CED=180°，∠ODE+∠OCE=180° 构成对角互补， ∵OC=OD ，构成等线段共点， ∴可考虑将△ODE顺时针旋转90° ∴将OE顺时针旋转90°到OF，连接CF，易证△ABC≌△GFB ， ∴∠ODE=∠OCF，DE=CF，OE=OF
6．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合．给 出以下结论： ①四边形OECF 的面积为1； ②CE+CF=2； ③OE+OF=2； ④四边形OECF 的周长为4 ． 其中正确的是 ．（填序号）
【思路分析】 本题给出正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合． 方法一： ∴∠EOF+∠ECF=90°+90°=180°（对角互补），连接OC、OD，△OEC与△OFD构成旋转型全等.
方法二： ∵∠EOF这个直角的两边不是水平线和铅垂线（称为斜直角），解决“斜直角”问题常用的方法就是“斜直角放正”（直角的两边由水平线和铅垂线构成），这种方法在直角坐标系中用得很多！ ∴作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H ， 易证△OGE≌△OHF，同样可得上述结论．
【思路分析】 ∠AMF是斜直角，可考虑“斜直角放正”，得△AMG≌△BMF ， ∴AG=FB，GM=FM ∴四边形OGMF是正方形， OG=OF=3，AG=FB=1； △OAB≌△EBC（三垂全等）， ∴BE=OA=2，CE=OB=4， ∴点C的坐标为（6,4）构造弦图可得：△OAB≌△EBC（三垂全等）， △OME 是等腰直角三角形， ∴OE=6, BE=OA=2 ,CE=OB=4 , ∴点C的坐标为（6，4）
8．如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为 ．
【思路分析】 本题给出正方形和菱形，他们的对角线都是互相垂直平分的， ∴连接BD，AC
9．如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG、GE、AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG的面积为 ．
【思路分析】 本题给出两个锐角为60°的菱形， ∴连接AC，可得∠ACB=∠GEC=60° ， ∴AC∥BG， ∴
（构造平行线造等底等高，平行转移）
10．如图，E是□ABCD内任一点，若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路分析】 过点E作AD的平行线交AB于G，交CD于F，利用平行转移得：
11．如图，在边长为4的菱形ABCD中,∠B=60°，点E，F，G，H分别在边AB，AD，DC，CB上，且AF=CH，BE=DG=2.P是直线EF，GH之间的任一点，连接PE，PF，PG，PH，则△PEF与△PGH的面积之和为 .
【思路分析】 由已知易证△AEF≌△CGH，△BEH≌△DGF， ∴EF=GH，EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴由“三个一半，平行转化”知连接EG，过点P作EF的平行线 因此
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB:BC=3:2，∠DAB=60°，点E在AB边上，且AE:EB=1:2，F为BC边的中点，过点D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE于点Q，则DP:DQ的值为
【思路分析】 ∵DQ⊥CE，DP⊥AF，由“三个一半”得
(求两高之比，由面积公式转化为底边之反比) 由已知数据求得：
五、重点提升 【中点结构】
【垂直结构】
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