2020年中考数学二次函数压轴题之动点问题

（1）求直线 OA 及抛物线的解析式；

（2）过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，并与直线 OA 交于点 C，当 △PCO 为等腰三角形时，求 D 的坐标；

（3）设 P 关于对称轴的点为 Q，抛物线的顶点为 M，探索是否存在一点 P，使得 △PQM 的面积为 1/8，如果存在，求出 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】

解：

（1）设直线 OA 的解析式为 y1＝kx，

把点 A 坐标（3，3）代入得：k＝1，

直线 OA 的解析式为 y＝x；

再设 y2＝ax（x﹣4），

把点 A 坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，

函数的解析式为 y＝﹣x2+4x，

∴ 直线 OA 的解析式为 y＝x，二次函数的解析式是 y＝﹣x2+4x．

（2）设 D 的横坐标为 m，则 P 的坐标为（m，﹣m2+4m），

∵ P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点，

∴ 0＜m＜3．

此时仅有 OC＝PC，CO＝√2 OD＝√2 m，

∴ ﹣m2+3m = √2 m，解得 m = 3 - √2 ，

∴ D（3 - √2 ，0）；

（3）函数的解析式为 y＝﹣x2+4x，

∴ 对称轴为 x＝2，顶点 M（2，4），

设 P（n，﹣n2+4n），则点 P 关于对称轴的对称点 Q（4﹣n，﹣n2+4n），

M 到直线 PQ 的距离为 4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，

要使 △PQM 的面积为 1/8，则

解得：n = 3/2 或 n = 5/2，

∴ P（3/2,15/4）或 P（5/2，15/4）．

【分析】

1、会用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，其中二次函数的三种解析式：顶点式、一般式、两根式要掌握，本题巧设两根式来求二次函数的解析式。

2、此类问题需要画出草图，用数形结合的思想去解决问题，还需注意题中的限制性条件 P 点的位置。

注意两个细节：

① 一定要注意 P 为直线 OA 上方抛物线上的一个动点这个限制性条件：（m 为点 D 的横坐标）

﹣m2+4m > m , 这是个一元二次不等式，解得 0＜m＜3，这样的等腰三角形只能有一个。

② 由第一问可知直线 OA 的解析式是正比例函数，从而可知 △ODC 是等腰直角三角形，只设出 D 点的横坐标，P 点的坐标就知道了，结合题目中的已知条件，当 △PCO 为等腰三角形时，很容易建立起数量关系 PC = OC，得到一个方程，从而求出点 D 的坐标。

3、先把 P 点的坐标设出来（原则上要尽量减少未知数的个数），通过坐标中点公式，把 Q 点的坐标也表示出来，在通过三角形面积公式，从而建立一个方程求出 P 点的坐标。