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特别说明： 作者水平、精力有限，推文中可能会存在瑕疵。如有发现，肯请大家及时指正，不胜感谢。  写在篇首 中学阶段的三角函数部分， 教材里分为三段： ①三解函数 ②三角变换 ③解三角形 其中， 三角变换的部分， 对很多同学来说还是有点难度的。 不仅因为三角公式的多， 更因为变化过程的繁。 但是， 不知道有没有同学认真体会过， 其实那么多的三角公式， 都有一个大概共通的特点：对称性 当然， 我这里说的对称， 并不是几何中图形的绝对对称， 而是对一类特殊代数式的特殊好感： 加对减、余对正和结构相近 很多人将这种感觉， 叫作“对偶式”。 今天这篇推送， 就在三角函数求值的环境下， 展示下“对偶式”的妙处。 也请在阅读的过程中， 完成两个小任务， 以期提高自己对三角变换的感觉。 ①体会三角中的两种常见对偶式： 和差对偶式和互余对偶式。 ②比较常规方法与对偶式法， 体会对偶式的优越。     一般而言，类似于Asinx+Bcosx=C条件式下角x的三角函数值问题，都可以考虑构造和差对偶式或互余对偶式处理。 其实，两种对偶式的本质是一样的，都是利用了三角变换中的平方关系。 当然，除了这种构造法之外，常规方法更应该掌握了。  只是这个计算过程，虽不能说不巧妙，但计算量确实还是有点大的。     究其根本，这个例题和例一相比，也只是多了一层面纱而已，掀开了这层面纱，连题型都是一样的。 但因为系数的不同，相较而言用常规解法时，计算过程可能会更加复杂一些。 就象是下面这种计算，虽然过程了了，但也不是所有同学都能很顺利处理的。  上面的常规解法，其实两种方法本质是一样的，还是利用了同角的平方关系。 只不过，结合三角函数的定义，将三角问题转化为一般的代数问题后，学生可能会更加适应些而已。 其实，代数和的问题，如果愿意进一步考虑综合性，很多时候也是可以用向量法去解决的。 为了减少计算量，你也可以从数量积的几何意义去分析两个向量之间同向的隐含关系。 相信两种构造，定会给你不一样的惊喜。 作为初学者来说，谁会想到余弦定理还能够这样玩它呢！ 所以说，公式的逆用，才能体现一个人对公式真正的理解和熟悉程度。 按部就班，这题原本应该会这样的： 虽然公式的应用尚算娴熟，但有没有一种头皮发麻的感觉了呢？ 这题原本应该是考查积化和差公式的。 因为课后习题的出现，老师们应该都会补充它，但其实也没有多少同学真的能够熟练使用这组公式。不夸张地说，可能有些连记忆都会有问题的。 看到了吗？三角变换法中用到了一个小小的技巧。 以后看到角度呈等差数列的余弦求和， 比如下面这样： 你就可以考虑一下上面的思路，将分子和分母同乘以公差一半的正弦，看看会不会有奇迹出现了 结 语 其实，对偶式法不仅在三角部分可以使用，在很多代数式具备类似对称的特征时，都可以尝试着使用，相信很多时候可能真的会给你意想不到的结果。 不信试试这个网红题： EN |
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