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对于“PA+kPB”最小值类型的探索 由于疫情影响，很多学生被迫进入线上学习，时间一长，效率低下的问题开始逐渐凸显。前些日子，很多家长通过各种途径找到我，询问能否预约时间展开一对一补习，尽量在考前做个冲刺。 当谈到学生的薄弱环节时，大多数学生都表示几何最值问题一直是个梗，十有八九束手无策，偶有几次凭运气过关。 那么今天我们就讲解一二，首先展开讲解的就是上述标题内容：对于“PA+kPB”最小值类型的探索 NO.1 将军饮马模型回顾 提问：直线L上有一动点P，A,B为L异侧两定点，则PA+PB的最小值为？ 解答：根据两点之间线段最短的原理可知：直接连接AB两点，与L的交点即为PA+PB最小值时的P点。 提问：直线L上有一动点P，A,B为L同侧两定点，则PA+PB的最小值为？ 解答：根据两点之间线段最短的原理可知：取A点关于直线L的对称点A',直接连接A'B两点，与L的交点即为PA+PB最小值时的P点。 NO.2 在将军饮马问题的基础上展开研究胡不归 提问：直线上有一动点P，A,B为L同侧两定点，则kPA+PB(k＜1）的最小值为？ 解答：构造sinα=k,则可以转化kAP； ①过点A作与AP成α夹角的直线（将AP绕点A顺时针旋转构造） ②过动点P作该直线的垂线段，垂足为A' ③kPA=PA.sinα=PA',重新被转化成为将军饮马问题 ④kPA+PB=PA'+PB,则最小值为A'B两点间的距离，此时P点应在该线段与直线L的交点。 解答：构造sinα=k,则可以转化kAP； ①过点A作与AP成α夹角的直线（将AP绕点A逆时针旋转构造） ②过动点P作该直线的垂线段，垂足为A' ③kPA=PA.sinα=PA',重新被转化成为将军饮马问题，再作A'关于直线L的对称点A'' ④kPA+PB=PA''+PB,则最小值为A''B两点间的距离，此时P点应在该线段与直线L的交点。 提问：直线L上有一动点P，A,B为L异侧两定点，则kPA+PB(k＜1）的最小值为？ 解答：构造sinα=k,则可以转化kAP； ①过点A作与AP成α夹角的直线（将AP绕点A顺时针旋转构造） ②过动点P作该直线的垂线段，垂足为A' ③kPA=PA.sinα=PA',重新被转化成为将军饮马问题 ④kPA+PB=PA'+PB,则最小值为A'B两点间的距离，此时P点应在该线段与直线L的交点。 解答：构造sinα=k,则可以转化kAP； ①过点A作与AP成α夹角的直线（将AP绕点A逆时针旋转构造） ②过动点P作该直线的垂线段，垂足为A' ③kPA=PA.sinα=PA',重新被转化成为将军饮马问题，再作A'关于直线L的对称点A'' ④kPA+PB=PA''+PB,则最小值为A''B两点间的距离，此时P点应在该线段与直线L的交点。 思考： ①直线L上有一动点P，A,B为L异侧两定点，则kPA+PB(k＞1）的最小值为？ ②直线上有一动点P，A,B为L同侧两定点，则kPA+PB(k＞1）的最小值为？ ③直线L上有一动点P，A,B为L异侧两定点，则kPA+bPB(k＞1,b＞1）的最小值为？ ④直线上有一动点P，A,B为L同侧两定点，则kPA+bPB(k＞1,b＞1）的最小值为？
NO.3 在将军饮马问题的基础上展开研究阿氏圆 提问：圆上有一动点P，A,B为圆外两定点，则PA+PB的最小值为？
解答：根据两点之间线段最短的原理可知：直接连接AB两点，与圆的交点即为PA+PB最小值时的P点。 提问：圆上有一动点P，A,B分别为圆内外两定点，则PA+PB的最小值为？
解答：根据两点之间线段最短的原理可知：直接连接AB两点，与圆的交点即为PA+PB最小值时的P点。 试探索： 提问：圆上有一动点P，A,B为圆外两定点，则kPA+PB的最小值为？ 提问：圆上有一动点P，A,B分别为圆内外两定点，则kPA+PB的最小值为？ 阿氏圆：古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，一个动点到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 换句话说，也就是一个动点到两个定点的距离之比为定值，则可确定这个动点的轨迹是个圆。
如图，也就是我们可以把圆上一动点与圆外一定点所构成的线段PA转化为kPB,也可以把圆上一动点与圆内一定点所构成的线段PB转化为kPA. 提问：圆上有一动点P，A,B为圆外两定点，则kPA+PB（k＜1）的最小值为？
解答：根据阿氏圆概念可知：圆上一动点到两个定点比值为定比，这样我们可以将kAP转化为PQ即可（连接OA与圆的交点为P',则kAP'=QP'可以在P'右侧找到Q点），直接连接QB两点，与圆的交点即为kPA+PB最小值时的P点位置。 提问：圆上有一动点P，A,B为圆外两定点，则kPA+PB（k＞1）的最小值为？
解答：根据阿氏圆概念可知：圆上一动点到两个定点比值为定比，这样我们可以将kPA+PB=k(PA+aPB),aPB转化为PQ即可（连接OB与圆的交点为P',则aBP'=QP'可以在P'左侧找到Q点），直接连接QA两点，与圆的交点即为PA+aPB最小值时的P点位置。 提问：圆上有一动点P，A,B分别为圆内外两定点，则kPA+PB（k＞1）的最小值为？
解答：根据阿氏圆概念可知：圆上一动点到两个定点比值为定比，这样我们可以将kAP转化为PQ即可（连接OA所在的直线交圆于点P'，则kAP'=QP',即可在P'左侧找到Q点），直接连接QB两点，与圆的交点即为kPA+PB最小值时的P点位置。
习题练习
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则PA+2PB的最小值为__________．
例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 ．
例：如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则2PD-PC的最大值为_______．
例：已知，点A为直线l上一定点，点B为直线L外一定点，在直线L上找一点P，使得BP+mAP（0＜m＜1）值最小
例：如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则2PB+√3PD的最小值等于________．
例：如图，在半径为6的扇形AOB中，OA⊥OB，点C是AB上一点，过C作CD⊥OB于D，则CD＋√3OD的最大值为
例：如图，已知A（－4、0），B（0，2），以AB为直径作圆C，P（m，n）是第二象限圆上一点，则m－n的最小值为：
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