【中考专题】一道中点相关问题（脚拉脚）的多种解法

苗苗幸福 2020-06-13

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本讲概要

【基础知识】

旋转型相似三角形

三角形的中位线

中心对称型全等三角形

直角三角形斜边上的中线

脚拉脚

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例1，已知：△ABC中，P是BC的中点，分别以AB、AC为斜边作Rt△ABD、Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE

分析一：由条件可以发现Rt△ABD和Rt△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形，

这是本题的第一个关键思维节点，就是要看懂Rt△ABD和Rt△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形，发现这对相似三角形并不难，重要的是要看懂它们是旋转型相似三角形，而且旋转以后还要进行一次翻折，这样才算看懂图形了。

从而就想到要应用、添加旋转型相似三角形进行分析，添加的方法是将Rt△ABD绕旋转中心A旋转到使直角边与直角边AE重合的位置，从而发现实质上就是将Rt△ACE沿AE进行一次翻折，也就是延长CE到F，使EF=CE，联结AF，就可得△ACE≌△AFE，△ACF是等腰三角形，

这是本题的第二个重要的关键思维节点，就是要想到添加旋转型相似三角形，添加的方法是将Rt△ABD绕旋转中心A旋转到使直角边与直角边AE重合的位置，从而进一步发现实质上是将Rt△ACE沿AE进行一次翻折，从而得到辅助线的添加方法，并发现△ACF是等腰三角形。

根据同样的道理，延长BD到G，使DG=BD，联结AG，就可得△ABD≌△AGD，△ABG是等腰三角形，

由于条件给出∠BAD=∠CAE，所以等腰△ACF和等腰△ABG的顶角相等，就可得等腰△ACF和等腰△ABG是一对旋转型相似三角形，这是本题的第三个重要的关键思维节点，就是发现△ACF和△ABG是一对旋转型相似三角形（等腰三角形）。

接下来，由条件P是BC的中点，而我们所作的是D是BG的中点，E是CF的中点，出现了三个中点，是多个中点问题，所以可以应用或添加三角形中位线的基本图形证明，由于D、P所在的线段BG、BC具有公共端点B，可以组成三角形，所以DP这两个中点的联线就是三角形的中位线，但现在图形中是有中位线而三角形不完整，所以应将三角形的边添上，也就是联结CG，就可得PD∥CG，PD=1/2CG。

这是本题的第四个重要的关键思维节点，就是根据出现的多个中点，想到要应用或添加三角形中位线的基本图形证明，然后根据图形中已经有中位线，而三角形不完整，所以想到要添加CG。根据同样的道理，联结BF，就可得PE∥BF，PE=1/2BF，这样问题要证明PD=PE，就转化为要证明CG=BF。

由于我们已经证明等腰△ACF和等腰△ABG是具有公共顶点A的相似的等腰三角形，所以一定得到一对旋转型全等三角形，找这对全等三角形的方法是：将由公共顶点发出的两组相等线段AG、AB；AC、AF两两组成三角形，从而就可找到△AGC≌△ABF，全等条件是AG=AB，AC=AF，它们的夹角都等于旋转角（∠GAB和∠CAF）加上公共部分∠BAC，在证明了△AGC和△ABF全等以后，就可得GC=BF，也就可以证明PD=PE，这是本题的第五个重要的关键思维节点，就是由两个具有公共顶点的相似的等腰三角形，一定可以得到一对旋转型全等三角形，然后根据旋转型全等三角形的基本图形的性质，就能够找到这对全等三角形，并完成证明。

分析二：由条件∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC=90°，可以发现Rt△ABD和Rt△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形，这是本题的第一个关键思维节点，就是要看懂Rt△ABD和Rt△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形。

又因为条件还给出P是BC的中点，就出现了过已知中点P所在的线段BC两个端点的线段BA、CA分别是两个直角三角形的斜边，所以想到要应用或添加直角三角形斜边上中线的基本图形进行证明，这是本题的第二个重要的关键思维节点，就是由出现的过已知中点所在的线段的两个端点的线段分别是两个直角三角形的斜边，所以想到要应用或添加直角三角形斜边上中线的基本图形进行证明。现在图形中是有直角三角形而没有斜边上的中线，所以应将斜边上的中线添上，也就是取AB的中点F，联结DF，就可得DF=1/2AB，这是具体的添线方法，就是应将斜边上的中线添上。

那么对直角△ACE来说，根据同样的道理，取AC的中点G，联结EG，就可得EG=1/2AC，

又因为条件给出了P是BC的中点，又作出了F、G是AB、AC的中点，就出现了多个中点，所以可添加三角形中位线的基本图形进行证明。

由于P、F这两个中点所在的线段BC、BA有公共端点B，可以组成三角形，所以PF这两个中点的联线就是三角形的中位线，现在的图形中是有三角形而没有中位线，所以应将中位线添。这是本题的第三个关键思维节点，就是由出现的多个中点，想到要添加三角形中位线的基本图形进行证明，然后根据有三角形而没有中位线，就想到要将中位线添上，也就是联结PF，可得PF∥CA，PF=1/2AC，这就是具体的添线方法，将三角形的中位线添上。根据同样的道理，联结PG，可得PG∥BA，PG=1/2AB，

从而可进一步推得DF=PG，PF=EG，由于要证明的结论是PD=PE，从而就发现△DFP和△PGE是一对旋转型全等三角形，这是本题的第四个重要的关键思维节点，就是由出现的三组对应边相等（其中的一对是结论），发现并想到要证明一对旋转型全等三角形。

全等的条件已经有两条边对应相等，所以第三个条件只能是证明它们的夹角相等，也就是要证明∠DFP=∠PGE，由于∠DFP=∠DFB+∠BFP，∠PGE=∠EGC+∠CGP，又因为已经证明PF∥CA，PG∥BA，所以∠BFP=∠BAC=∠CGP，所以问题就成为要证明∠DFB=∠EGC，而应用直角三角形斜边上中线的基本图形性质，可得：∠DFB=2∠BAD，∠EGC=2∠CAE，

而已知∠BAD=∠CAE，所以∠DFB=∠EGC就可以证明。

分析三：本题给出了条件P是BC的中点，要证明PD=PE，就出现了以线段中点P为公共端点的两条相等线段PD、PE，所以想到要应用或添加直角三角形斜边上中线的基本图形进行证明，这是本题的第一个重要的关键思维节点，就是由条件中出现的以线段的中点为公共端点的两条相等线段，从而想到要添加直角三角形斜边上中线的基本图形进行证明。

添加的方法是延长相等线段中的一条并且使端点P也成为中点，也就是延长DP到F，使PF=DP，这就是具体的添线方法，实际上就是要添加直角三角形斜边上中线的基本图形。

但现在图形中出现的是斜边和斜边上的中线，直角三角形还不完整，所以要先将直角三角形添加完整，也就是联结DE、EF，问题就成为应证∠DEF=90°，又因为已知∠AEC=90°，出现了同一个顶点E的两个直角，所以问题就成为要证∠AED=∠CEF。

而这两个角相等一出现，就发现了这是两个旋转角，所以想到要应用旋转型相似三角形进行证明，根据由公共顶点E发出的四条成比例线段两两组成相似三角形的方法就可以找到这对相似三角形是△AEC和△DEF，也就是要证明∠DEF=90°，就是等价于要证明这两个三角形相似，这是本题的第二个重要的关键思维节点，就是由要证明的∠DEF=90°，发现问题的实质是要证明旋转型相似三角形。

由于旋转型相似三角形一定是两对同时出现的，而△AEC和△DEF相似是要证明的结论，所以一定要转而证明另一对，根据由公共顶点E发出的四条成比例线段两两组成相似三角形的方法就可以找到这另一对相似三角形应是△AED和△CEF。

这是本题的第三个重要的关键思维节点，就是由旋转型相似三角形一定是两对同时出现的性质，想到问题是要证明另一对旋转型相似三角形，并通过规律性的方法找到这对相似三角形。接下来就应寻找、发现证明这两个三角形相似的条件，由于已经有延长DP到F，使PF=DP，条件中还给出了BP=CP，这样就出现了两组相等线段PD、PF，PB、PC是位于一组对顶角∠BPD和∠CPF的两边而且成一直线，所以可应用或添加中心对称型全等三角形进行证明。

这是本题的第四个关键思维节点，就是由出现的两组相等线段是位于一组对顶角的两边而且成一直线，所以可应用或添加中心对称型全等三角形进行证明。

找这对全等三角形的方法，就是将两组相等线段的四个端点两两联结起来，从而就能找到这对全等三角形应是△BPD和△CPF，这就是具体的找全等三角形的方法，将两组相等线段的四个端点两两联结起来，组成中心对称型全等三角形，全等条件是：PD=PF，BP=CP，∠BPD=∠CPF，从而可得DB和FC平行而且相等，又因为条件还给出△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠BAD=∠CAE，所以△ABD和△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形，这是本题的第五个关键思维节点，就是要发现并证明Rt△ABD和Rt△ACE是一对旋转型（组合一次翻折）相似三角形。

从而可得AD/AE=BD/CE,而已经证得BD=CF，所以AD/AE=CF/CE,这样要证明△AED和△CEF相似，就只要证明这两组对应边得夹角相等，也就是要证明∠DAE=∠FCE，由于已经证明BD∥CF，且BD⊥AD，所以CF⊥AD，又因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠FCE就可以证明，分析就可以完成。