   一起回顾微课学习过程 翻杯子问题 有n只杯子（n是等于或大于4的整数）全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中的4只杯子，经过若干次的“翻动”，使这些杯子的杯口全部朝下。请问n可能是哪些数呢？ 我们先拿一只杯子做实验， 看看有什么发现？  翻动一次，杯口朝下；翻动两次，杯口朝上…… 每次翻动4只杯子，那么n至少得是4.不妨从4只杯子开始试试吧！   当n=4时，每次“翻动”4只杯子， 只需要 “翻动”1次就能将全部杯子的杯口朝下。  当n=5时，每次“翻动”4只杯子，需要几次呢？ 将杯子进行编号，用打勾，打叉的方式分别表示杯子的杯口朝上、朝下，讨论起来会更方便哦！  第一次翻动 第一次翻动5个杯子中的任意4个，都会出现4个杯子的杯口朝下，还有一个杯子朝上，即4叉1勾。 第二次翻动 第二次翻动会出现什么情况呢？ 第二次翻动只能选择5号杯子与1、2、3、4中的任意三个杯子。因此有3勾2叉。 第三次翻动 此时有3只杯子杯口朝上，即2、3、4号，还有1、5号2只杯子开口朝下。所以会产生两种情况：翻动2、3、4号中的2只杯子和1、5号杯子；翻动2、3、4号3只杯子和1、5号中的任意1只杯子。 仔细观察发现，情况1与第二次的结果是一样的；情况2与第一次的结果是一样的。 原来刚才的翻动是在重复操作，那么不管翻动多少次，都无法将5勾换成5叉，也就是说不管经过多少次翻动都无法将5个杯子全部朝下。 当n=6时，每次“翻动”4只杯子，需要几次呢？ 现在有2勾，想办法翻动其中的4只杯子，使得2勾变成4勾就好了。 选择2勾中的1个，在4叉中任选3个，就变成了4勾2叉。第三次翻动2、3、4、6号杯子，就能让所有杯子开口朝下。 6只杯子只需要翻动3次就能将所有杯子开口的朝下。 当n=7时，每次“翻动”4只杯子，会是什么情况呢？ 第一次翻动 第一次翻动其中的任意4个，都会出现4个杯子的杯口朝下，还有3个杯子朝上，即4叉3勾。 第二次翻动 现在的杯子分为两类：4个开口朝下的杯子与3个开口朝上的杯子，即4勾3叉。第二次翻动会出现以下3中可能性： （情况1）翻动1勾3叉；（情况2）翻动2勾2叉；（情况3）翻动3勾1叉。 观察发现，情况2与第一次的翻动结果相同；情况1若是再翻动其中任意4只杯子与情况3或第一次的结果不断循环重复。 所以7只杯子无论翻动多少次都无法让它们全部开口朝下。 整理我们的实验结果如下： 杯子是奇数只时，每次翻动4只杯子，无论翻动多少次都不能将全部的杯口朝下；杯子是偶数只时，经过若干次的翻动，能够让所有的杯子杯口朝下。 从实验中我们得知：要使一只杯子的杯口朝下，必须将杯口翻动奇数次。 奇数只杯子，翻动的总次数是奇数个奇数相加的和，为奇数。而每次翻动4只杯子，无论是翻动奇数次还是偶数次，最后结果都是几个4相加的和，为偶数。奇数不可能等于偶数。 偶数只杯子，翻动的总次数是偶数个奇数相加的和，为偶数。而每次翻动4个，可能翻动奇数次，也可能偶数次，最后都是若干个4相加的和，为偶数。偶数可能等于偶数。 所以n为奇数时，无法将杯子开口全部朝下；n为偶数时，经过若干次翻动，能将杯子开口全部朝下。 同学们，你会了吗？如果每次翻动3个杯子，会出现怎样的情况呢？如果每次翻动5个杯子，7个杯子呢？ |
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