切线放缩法在超越函数综合题中的应用

引言

摘要：纵观历年全国各地高考数学卷，在导数综合问题中经常考查切线放缩法.这类题型不再考查某个单一的超越函数，而是将指数函数、对数函数等综合起来进行考查.一尤其是一类与“ex”和“lnx”有关的超越函数问题，如果直接求导找零点，往往复杂繁琐甚至半途而废. 此时通过切线放缩法，将复杂函数转化为简单函数，常常能起到化繁为简的效果.

关键词：切线放缩法，导数综合问题，超越函数

正文

在高中数学人教A版选修2-2第32页习题中，有两个非常重要的函数不等式，即：

它们是切线放缩法的理论基础. 下面将对上述不等式进行理论证明，给出几何直观解释，探究其变式以及在超越函数综合题中的应用.

一、理论证明

二、几何直观解释

三、变式探究

四、应用举例

评注 本题第二问综合运用了两个重要的函数不等式及其变式. 相较于“虚设零点”法，避免了求导、找零点等复杂繁琐的计算，过程简洁明了，易于理解.

评注 本题第二问同时运用了两个重要的函数不等式进行切线放缩. 简洁巧妙，避免寻找隐零点，回避了复杂运算.

五、变式训练

六、小结

在求解与“ex”和“lnx”有关的导数综合问题中，切线放缩法是一种重要的数学方法.在历年全国各地高考数学卷导数压轴题中，常常会渗透放缩法思想.在解决该类问题时，如能灵活运用本文所述的两个重要的函数不等式，往往思路清晰，过程简洁明了，效果显著