几个美女正在逛街,迎面走过来一个帅哥,顿时吸引了她们的目光,其中甲美女说:“我猜他的身高为180cm。”,乙美女说:“他的身高95%在178cm-182cm之间。”你觉得她们两个谁猜对的可能性更大呢?毫无疑问,肯定是乙美女。在这里,甲说的是一个点估计,而乙说的是一个区间估计,命中的概率自然会增大。置信区间就是一种区间估计,我们就来看看它是如何进行区间估计的吧。 我们通过对婴儿体重的估计介绍什么是置信区间 刚刚出生的婴儿总是会被护士姐姐温柔的抱去称体重。有人说:“我想知道该市所有婴儿的真实的平均体重。” 简单粗暴的方法:收集该市所有新生婴儿的体重,求平均值。此方法虽然准确,但是几乎不可能实现。 科学方法:对该市新生婴儿进行简单随机抽样,由这些婴儿的体重平均值(估计值)来估计该市新生婴儿的体重平均值。 用上面的科学方法,你得到了一个固定的数值,对所有在产房外焦急等待的人说:“你的孩子一定6斤重,猜错了打我。”这位朋友,你挨打的几率很大啊。用一个固定的数值作为推断结果很容易出错,所以我们要像刚开始的乙美女学习,用数值区间表示推断结果。 如何构造这个数值区间?(这里,以95%为例) 我们通过对婴儿体重的估计介绍什么是置信区间 假设婴儿体重服从正态分布:X~N(µ,σ2),其中µ未知,σ已知。 我们不断对婴儿进行抽样,每次抽取n个,则样本均值为, 根据中心极限定理(后续会讲), 置信区间的一般构造为: 统计量±(误差范围) 误差范围=c×(统计量的标准差) 由置信区间的构造方式我们可以画出如下的图: 95%置信区间的真正含义是什么? 我们通过对婴儿体重的估计介绍什么是置信区间 95%置信区间的意思并不是说某个值有95%的概率落在某区间,因为对于数值,没有概率上的描述。真正含义是:我们构造的不同区间,有至少95%的区间包含真实值。 我们在新生婴儿中抽样100次(每一次抽取100个),因为每次得到的均值不同,那我们可以获取100个不同的置信区间,如图:竖的虚线代表上帝告诉我们的该市新生婴儿的平均体重的真实值,蓝色实线是我们构造的95%的置信区间(100次太多,所以我们只展示一部分),图中展示的25个区间中,只有一个不包含虚线,95%以上包含了上帝给的真实值。 |
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