天才的发现：你知道牛顿是如何推导出π的精确值的吗？

艾萨克·牛顿（1642-1727）在1666年写道：“我很惭愧的告诉您，我对π进行了许多计算”但其实牛顿将π值精确的计算到了15位以后

如下是牛顿《流数术》中关于曲线下面积的推导：

牛顿《流数术》

牛顿对π的推导过程：

第一：积分下扇形ABD的面积

牛顿当然已经掌握了解析几何的概念，它就是以这种方式推导的，先作一个单位半圆，圆心C点坐标是（1/2，0），半径r= 1/2：如下图所示

那么圆的方程就是

对y简化和求解就给出了上半圆的方程：

接着牛顿运用自创的二项式定理，和他发明的微积分知识

牛顿发现的二项式定理

曲线y=ax^(m/n)

牛顿《流数术》中的曲线

牛顿《流数术》中曲线下的面积公式

所以牛顿运用二项式定理将半圆方程进行展开

然后再对展开式进行积分，就得到半圆下的面积：

艾萨克·牛顿（Isaac Newton）使用他的天才大脑，使B点坐标为(1/4,0)，作BD垂直AC，然后开始处理阴影部分ABD的面积

所以当x=1/4时，我们就得到了阴影部分ABD的面积：最后得出的近似值为0.07677310678

第二：平面几何下三角形ABD的面积

牛顿接下来使用简单的几何计算阴影区域ABD的面积。首先计算直角三角形DBC的面积，BC=1/4，r= 1/2。运用勾股定理得到

你会发现∠BCD=60度，这就是牛顿设定B点坐标为(1/4,0)的原因，所以扇形ABD的面积就是半圆面积的1/3

积分下扇形ABD面积和几何下扇形ABD的面积是等价的，所以最终得到π的值

牛顿得到的π的值