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黄金分割及应用 李新英 摘 要:黄金分割比在未发现之前～在客观世界中就存在的～只是当人们揭示了这一奥秘之后～才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时～就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它～如植物的叶片、花朵～雪花～五角星„„许多动物、昆虫的身体结构中～特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后～就被广泛地应用于人类的生活之中。此后～在我们的生活环境中～就随处可见了～如建处门窗、橱柜、书桌,我们常接触的书本、报纸、杂志,现代的电影银幕。电视屏幕～以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中～在美术史上曾经把它作为经典法则来应用～许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑～从而使数学与艺术创作紧密的结合起来～创造了不少不朽的名著。 关键词:黄金分割,艺术创作,斐波那契数列 1.引言 大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现: 1/0.618=1.618 [1] (1-0.618)/0.618=0.618 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 1/17页 洛阳师范学院本科毕业论文 其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。 2. 神奇美妙的黄金分割 2.1黄金分割的起源与数学证明 公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。 毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。 b经计算得出结沦:长段(CB)与短段(AB)之比为1:0.618，其比值为0.618。a 可用下面的等式表达 bb := ( a +) : aa 即长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即 2bba= (+) a 在《几何原本》一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。 黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题:已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。 axax例:设原线段常为，分成长为一段长为，那么短的一段长为-。如图  2，，x,aa,x则 1 2/17页 洛阳师范学院本科毕业论文 5,1解此方程得 x,a,0.618a2  于是得黄金分割的精确作图 以上是分割点在原线段上的情况。如果分割点在已知线段的延长线上， 222 ，，a,x,a,x,ax,a,0 于是得相应的作图  黄金分割在几何学上，成为分已知线段为“中外比”。广义上说 5,15，1,0.618,均是黄金分割数或者黄金分割。 ,1.61822 2.2黄金分割与裴波那数列 F,F,1裴波纳奇数与黄金分割有何关系,数列存在这样的递推关系:，12 *,,FF,F，F,n,N1,1,2,3,5,8,13,21,。前几项为„„则数列叫做斐波那契数列，简nn，nn，21 称F-数列。它是13 世纪意大利数学家Fibonacci 在研究小兔问题时提出的。 裴波纳奇数数列的递推关系式: 2 3/17页 洛阳师范学院本科毕业论文 ,,aa1,12 ,，，a,a，aa,3,n和a是自然数n，2nn，1, 看下列比值: 112，，，，，， ,1,1,0.5,2,0.667,3123 835，，，，，，,0.6,4 ,0.625,5 ,0.6184,6 8513 132134，，，，，，,0.619,7 ,0.6176,8 ,0.6182,9 213455 显然这些数越来越接近0.618.这表明裴波纳奇数列中任意相邻两项(前项比后项) 都可用来近似地表示0.618.随着项数的增加，这些比值与0.618的误差越来越小。数学 严格论证如下: nn，，,,,,[2]，,1515,,,,,, 因为裴波纳奇数列的通项 ，则,,an,,,,22,,,,,,，， nn，，,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,an，，,limlimn，1n，1a，，n,,n,,n，1,,,,11，51,5,,,,,,,,,,,22,,5,,,,，， n,,1,5,,,,21,,,n，1n1，5,,,,1，55,15,11,5,,,,,，,,,,22221，5,,,,,,limlimn，1n，1n,,n,,,,,,1,51,5,,,,1,,,,,21，5,,,,1,n，1,,1，5,,,,2,, nn，1,,,,1,51,5,,,,,0,,0？limlim,,,,1，51，5n,,n,, ,,,, a5,1n？,,0.618lima2n,,n，1 3 4/17页 洛阳师范学院本科毕业论文 F4,,n另外，F-数列在分析方面有一个非常优美的结:. 这使得黄金分割果lim,,n,,Fn，1 与F-数列的联系更加紧密。因此，它们在应用上也有很多共同之处，斐波那契数列和黄金分割法相似，他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数，而是由斐波那契数列决定的。 3 黄金分割法的应用 1953 年，美国的弗基提出0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面.20 世纪70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广，并取得了很大的成就，以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学 ,,4中的应用实例。 3.1 黄金分割法的基本思想及优选法 黄金分割法, 也叫0.618 法，是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础，它适用于一维区间的单峰函数，其基本思想是:依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收,,a,b 缩原则来逐步缩小搜索范围。具体地说: *x设f是定义在区间的下单峰函数，有唯一的极小点间(即最优点)。在区间,,a,b 中取点, ,,，，a,bx,a，0.618b,a，，x,a，0.382b,a21 如果? ，，，，， 则令 ，取区间 ,, a,xx,bfx，fx1112 如果? ，，，，，则令 ，取区间,,? b,xa,xfx,fx2212 ，，，，,,,,,,这样，通过比较的大小,就可以将区间a,b缩短为区间x,b或a,x，fx,fx1212 因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点，所以从其中找出一个试点，又可将这个新的区间再缩短一次，不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止。 目前，由于史文谱、刘迎曦等人的努力，用推广的黄金分割法已经能够求解部分多 ,,3维区域上的函数的最优解了(如例2)。 2例2:用黄金分割法和Fibonacci 法求函数，，在区间[-1，3]上的极小fx,x,x，2 点，要求最终区间长不大于原始区间长的0.08。 2，，,,3，1，0.08,0.32解:函数，，在区间[-1，3]上为下单峰函数，且 fx,x,x，2 |
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