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说明：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品 约翰逊多面体的一种再分类第一节 前言约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体（包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体。为了知识上的连贯性，同时也是方便理解，在讨论约翰逊多面体之前，我们先介绍一下正多面体和半正多面体。 1.正多面体正多面体也叫柏拉图多面体，由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名。正多面体具有高度对称的特点，其每个面都相同、每条棱都相同、每个顶点都相同。正多面体共有5个，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。正多面体我们都比较熟悉，这里就不作过多介绍。 2.半正多面体根据托罗尔德戈塞特在1900年给出的定义，半正多面体有下面几种：阿基米德多面体，无穷多个侧棱与底棱相等的正棱柱，以及无穷多个侧棱与底棱相等的正反棱柱。
3.约翰逊多面体1966年，美国数学家诺曼·约翰逊发现了92种约翰逊多面体。1969年，维克托·查加勒证明约翰逊多面体只有这92个。在已有的分类方式上[1]，我把这92种约翰逊多面体重新分成如下几类：
详细情况如下表所示，从橙色到深蓝色，每种颜色代表一类。从下一节起，我将对每一类做详细介绍。  第二节 属于基本几何体的多面体1.由正多边形构成的棱锥棱锥是指由多边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成的多面体。底面为正多边形，且顶点在底面的投影正好是底面的中心的棱锥叫做正棱锥。不难证明，当底面边数≥6时，侧棱长大于底棱长。因此只有正三、四、五棱锥的侧面可以是正三角形。方便起见，这三种等棱长的棱锥后面分别简称“正3/4/5棱锥”或“棱锥”。其中，正三棱锥即为正四面体。因此属于约翰逊多面体的棱锥只有正四棱锥和正五棱锥。   2.由正多边形构成的台塔台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体。各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔。方便起见，后面简称“台塔”。    3.由正多边形构成的丸塔丸塔一词来自日语（“丸”即圆形的意思），是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和五边形所组成的多面体。各个面为正多边形的丸塔，只有正五角丸塔。它恰好是截半正12面体的一半。方便起见，后面有时简称“丸塔”。  这样，我们得到了6个属于基本几何体的约翰逊多面体。 第三节 基本几何体拼接基本几何体在第一节的基础上，我们很自然想到，基本几何体之间互相拼接，可以得到哪些约翰逊多面体呢？我们知道，在基本几何体中，三种棱锥的底面分别是正三角形，正方形和正五边形；三种台塔的底面分别是正六边形，正八边形和正十边形；丸塔的底面为正十边形。介于约翰逊多面体都是凸多面体，直觉上不难推测，两个基本几何体多半只能底面与底面拼在一起。这样，就容易找出下列组合（其中所有棱长均相等）：
其中，有3种组合会有两种情况，它们分别是双四角台塔、双五角台塔和五角台塔丸塔。由于台塔和丸塔的底层都是两种正多边形间隔排列，因此在组合的时候就有两种方式。为了区分，在前面分别加上“同相”或“异相”。这样，我们就得到了由基本几何体拼接而成的10种约翰逊多面体。  第二行左起：异相双四角台塔、同相双五角台塔、异相双五角台塔 第三行左起：同相五角台塔丸塔、异相五角台塔丸塔、同相双五角丸塔 你可能会有以下几个问题。
 
借助磁力片发现，结果是一个含有两个菱形面的斜三棱柱，不属于约翰逊多面体。这个问题的背景来自1982年全美初级学术能力测验中的一道题，这个测验有83万中学生参加。原题目问的是拼接结果有几个面，标准答案是七个，后来17岁的中学生丹尼尔用橡皮泥做的模型推翻了答案[3]。事实上，正四棱锥两个相邻侧面的二面角与正三棱锥的二面角正好互补。 第四节 棱柱与基本几何体的组合1．棱柱与棱锥的组合根据棱锥接在棱柱上面的位置的不同，有三种情况：第一种，接在顶面或底面；第二种，接在侧面；第三种，同时接在顶面（或底面）和侧面。下面我们分类讨论。 1）接在顶面或底面 我们知道，三种棱锥的底面分别是正三角形、正方形、正五边形。因此用来组合的棱柱有三种：正三棱柱、正四棱柱和正五棱柱。①如果与棱柱相接的是棱锥的侧面，用来组合的只能是正三棱柱。我们把正四面体各个面都能看成底面，因此只需考虑接正四棱锥或正五棱锥的情况。借助磁力片发现，得到的均是凹多面体。②如果与棱柱相接的是棱锥的底面，此时若只在棱柱上接一个棱锥，便得到正三棱锥柱、正四棱锥柱、正五棱锥柱；若上下各接一个，便得到双三棱锥柱、双四棱锥柱、双五棱锥柱。共计6个约翰逊多面体。 2）接在侧面 棱柱的侧面都是正方形，因此，能接的棱锥只能是正四棱锥。计算可知，正四棱锥的侧面与底面的夹角约为54.74°，因此棱柱的顶面的每个内角不能超过180°-54.74°=125.26°。我们知道，正六边形的一个内角为120°，正七边形的一个内角为128.57°，也就是说与棱锥相接的棱柱最多为正六棱柱。另外，对于正三棱柱而言，可以在两个相邻侧面各接上一个棱锥，因为60°+2×54.74°<180°；而对于正四棱柱则不行，因为90°+2×54.74°>180°；而棱柱底面边数为5及以上，显然更不行。这样，我们便得到了9个约翰逊多面体，如下图。 其中没有正四棱柱，是因为正四棱柱就是正方体，其侧面与顶面是一样的，所有可能得到的情况就是1）中的正四角锥柱和双四角锥柱。 3） 同时接在顶面（或底面）和侧面 借助磁力片发现，不管接的是哪种棱柱，总会得到凹多面体。 这样，我们找到了15种棱柱与棱锥的组合，如下图所示。 第二行左起：双五棱锥柱、侧锥三棱柱、二侧锥三棱柱、三侧锥三棱柱、侧锥五棱柱 第三行左起：二侧锥五棱柱、侧锥六棱柱、双侧锥六棱柱、二侧锥六棱柱、三侧锥六棱柱 2.棱柱与台塔、丸塔的组合我们知道，台塔有三种——正三角台塔、正四角台塔和正五角台塔，丸塔有一种——正五角丸塔。根据棱柱接在台塔及丸塔上的位置的不同，可以分为两种情况，接在底面，以及接在侧面或顶面。 1） 接在底面 首先，如果直接在正台塔和正丸塔的底面加上等棱正6/8/10棱柱，就找到了4种约翰逊多面体——台塔柱和丸塔柱。 其次，如果在等棱正6/8/10棱柱的顶面和底面都接上相应的正台塔或正丸塔，就成了双台塔柱、双丸塔柱、台塔丸塔柱。对其中任意一种结构，将其中一层台塔或丸塔稍微旋转一下，便能得到另一种结果。经枚举，一共有9种情况：同相双三角台塔柱、异相双三角台塔柱、同相双四角台塔柱、同相双五角台塔柱、异相双五角台塔柱、同相双五角丸塔柱、异相双五角丸塔柱、同相五角台塔丸塔柱、异相五角台塔丸塔柱。 注意，没有同相双四角台塔柱，是因为它就是小斜方截半立方体，属于阿基米德体。 2） 棱柱接在侧面或顶面 借助磁力片发现，这样得到的总是凹多面体。 这样，我们找到了13种棱柱与台塔、丸塔的组合，如下图所示。 第二行左起：正五角丸塔柱、同相双三角台塔柱、异相双三角台塔柱 第三行左起：异相双四角台塔柱、同相双四角台塔柱、异相双五角台塔柱 第四行左起：同相双五角丸塔柱、异相双五角丸塔柱、同相五角台塔丸塔柱、异相五角台塔丸塔柱 综上，我们找到了由棱柱与基本几何体组合而成的6+9+4+9=28种约翰逊多面体。 第五节 反棱柱与基本几何体的组合1.反棱柱与棱锥的组合1）在反棱柱的顶面或底面拼接棱锥 我们知道，棱锥有三种。我们考虑，在正3/4/5角反棱柱的顶面（或底面）加上一个（或两个）棱锥。 首先，正三角反棱柱即正八面体，加上一个正三棱锥，会得到菱形面。多加几个也不能得到约翰逊多面体。 其次，如果在正五角反棱柱在顶面和底面各加一个正五棱锥，则会得到正20面体。 因此，我们一共可以得到3种约翰逊多面体：正四棱锥反棱柱、正五棱锥反棱柱、双四棱锥反棱柱。 2）在反棱柱的侧面拼接棱锥 借助磁力片发现，当反棱柱的底面边数大于3时，总会得到凹多面体。 2.反棱柱与台塔及丸塔的组合我们知道，三种基本几何体中，台塔有三种，丸塔有一种。在反棱柱的顶面加上一个台塔或丸塔，便得到三个台塔反棱柱和一个丸塔反棱柱。而在顶面和底面同时加上一个台塔或丸塔，便得到三个双台塔反棱柱、一个双丸塔反棱柱、一个台塔丸塔反棱柱。 注意，与双台塔柱不同的是，如果将一层台塔或丸塔稍微旋转一下，得到的多面体与旋转之前是呈镜像关系的（例如下图）。由于没有本质区别，我们把它们看作同一种约翰逊多面体。正如在13种阿基米德体中，扭棱立方体与扭棱十二面体都是有镜像之分的，但一般只把它们及镜像看作一种阿基米德体。 这样，我们就得到了由反棱柱与基本几何体组合而成的3+9=12种约翰逊多面体，如下图所示。 第二行左起：正四棱台塔反棱柱、正五棱台塔反棱柱、正五棱丸塔反棱柱、双三棱台塔反棱柱 第三行左起：双四棱台塔反棱柱、双五棱台塔反棱柱、双五棱丸塔反棱柱、五棱台塔丸塔反棱柱 第六节 正多面体拼接或削去棱锥实验表明，正多面体拼接或削去棱锥，主要是两种情况——一个是正十二面体拼接正五棱锥。另一个是正二十面体削去正五棱锥。 1.正十二面体拼接正五棱锥正十二面体相邻两个面的二面角约为116.57°，正五棱锥侧面与底面的夹角约为37.38°，因为116.57°+2×37.38°=191.33°>180°，因此，添加的任意两个正五棱锥不能有公共边。换句话说，正十二面体中，能添加五棱锥的面不能相邻。 这样的面最多有几个呢？我们把正十二面体放在一个水平面上，则表面可以划分为顶面、底面、五个上层面和五个下层面。不难发现，符合要求的面最多只有三个——例如顶面，以及5个下层面中的两个不相邻的面。 根据添加的正五棱锥的数目和位置，我们可以得到4种约翰逊多面体：侧锥正十二面体、双侧锥正十二面体（即两个正五棱锥所在面相对）、二侧锥正十二面体、三侧锥正十二面体。 2.正二十面体削去正五棱锥可以想象，削去的正五棱锥之间可以不能有公共体积（否则截面得不到完整的五边形面），也就是要求这些正五棱锥的顶点不能相邻。那么正20面体上最多能找出几个两两不相邻的顶点呢？ 如上图，最多三个（因为正二十面体与正十二面体互为对偶，这三个顶点就是上一幅图中的三个面）。根据削去的正五棱锥数量的不同，得到两种约翰逊多面体：正二十面体欠二侧锥、正二十面体欠三侧锥。另外还可以在正二十面体欠三侧锥上面增加一个正三棱锥，得到一个新的约翰逊多面体。 为什么没有正二十面体欠一侧锥和正二十面体欠双侧锥（两个正五棱锥的顶点处于相对位置）？因为它们分别是正五棱锥反棱柱和正五角反棱柱。 这样，我们就得到了由正多面体拼接或削去棱锥得到的7种约翰逊多面体，如下图。 第二排左起：正二十面体欠二侧锥、正二十面体欠三侧锥、侧锥正二十面体欠三侧锥 第七节 阿基米德体拼接或削去台塔1.阿基米德体拼接台塔台塔的底面是正6、8、10边形，含有上述正多边形的阿基米德体共有七种，分别如下（括号内数字代表含有正多边形的边数）：截角四面体（6）、截角立方体（8）、截角八面体（6）、截角十二面体（10）、截角二十面体（6）、大斜方截半立方体（6、8）、大斜方截半十二面体（6、10）。因此对应的搭配方式有：
实验表明，其中能形成凸多面体的有以下3种：
再考虑所加台塔的个数和位置（台塔所在面不能相邻，否则会得到凹多面体），一共可以得到7个约翰逊多面体，如下图: 第二排左起：侧台塔截角十二面体、双侧台塔截角十二面体、二侧台塔截角十二面体、三侧台塔截角十二面体 2.阿基米德体削去台塔在某些阿基米德体的表面上含有台塔结构，这就为削去台塔提供了可能。另外，由于台塔的底层是由两种正多边形间隔排列，因此还可以将削去的台塔旋转一下再接回去。 经试验，小斜方截半二十面体经过削去和接上可以得到12种约翰逊多面体。如下图。 第二排左起：小斜方截半二十面体欠一侧台塔（削去一个台塔）、小斜方截半二十面体欠双侧台塔（削去两个相对的台塔）、小斜方截半二十面体欠二侧台塔（削去两个不相邻的台塔）、小斜方截半二十面体欠三侧台塔（削去三个不相邻的台塔） 第三排左起：侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（旋转一个台塔，削去一个台塔，二者不相邻）、侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔（旋转一个台塔，削去两个台塔，三者不相邻）、双侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（旋转一个台塔，削去一个台塔，二者相对）、二侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔（旋转两个台塔，削去一个台塔，三者不相邻） 这样，我们就得到了由阿基米德体拼接或削去台塔得到的19种约翰逊多面体。 第八节 球形屋根等其他多面体笔者发现，利用磁力片可以很好的认识这剩下10种约翰逊多面体的结构特点。因此，下面将借助磁力片对每种约翰逊多面体的拼搭方式做详细介绍。 1.异相双三角柱这个结构比较简单，两个等棱长三棱柱利用正方形面拼在一起即可，注意顶面的朝向互相垂直。 2.变棱双五棱锥这个结构是在双五棱锥的基础上做一些变形，拼搭方式如下：先找到一个周围有4个面的顶点，双手向五棱锥的顶点方向拉开，撕出一条缝，然后塞入两个等边三角形（左右各一个）。 3.变棱四角反棱柱这个结构是在正四角反棱柱的基础上做一些变形，拼搭方式如下： 将正四角反棱柱扯成两半（每半是一个正方形和四个三角形），然后在中间的一圈缝隙内填入16个等边三角形。当然，需要调整各个面之间的角度。 另一拼搭方式为：用12个等边三角形和一个正方形拼成下图，并将中间的正方形缓慢提起，变成一个碗状结构。然后将两个碗状结构呈45°扣在一起即可。 4.球形屋根球形屋根由12个等边三角形和2个正方形构成，后面几种约翰逊多面体基本都是在它的基础上变形得到的。球形屋根是一个对称结构，其自身关于两个平面镜像对称。 拼搭方式为：先做两条船（在正方形的上下两侧各加一个等边三角形），拼在一起，形成一个碗状结构。再做一个正六边形盖子，盖在上面。最后把盖子抠开，塞入两个等边三角形即可。 5.侧锥球形屋根这个结构即在球形屋根的其中一个正方形上拼接一个正四棱锥。 6.加长版球形屋根这个结构即在球形屋根的基础上做一些变形。拼搭方式如下： 先找到周围有两个正方形和两个三角形的两个顶点，然后各自进行以下操作：用双手在正方形与三角形之间拉开一条缝，并塞入两个三角形，方向与旁边的两个三角形一致。 7.广底加长版球形屋根这个结构即在加长版球形屋根的基础上做一些变化。拼搭方式如下： 取一个正方形，在其上下两侧各加一个三角形。然后在加长版球形屋根的两个正方形（连带旁边的三角形）中间撕开一条缝，然后将上述结构塞入其中即可。 8.五角锥球形屋根这个结构上面有4个近似的五角锥，另外和球形屋根有相同的地方。拼搭方式如下： 先搭两个球形屋根的碗状结构，方向垂直放置，准备扣在一起。在扣之前，中间需要填入12个等边三角形，近似正六角反棱柱。 9.双新月双丸塔这个结构的名称很好听，它由两个正方形，4个五边形和8个三角形构成。拼搭方式如下： 在正方形的每条边上接一个三角形，形成一个星状结构。在星状结构的四个凹陷处上各接一个五边形，把这四个五边形，两个一组吸在一起，整体有一个空缺。最后再做一个星状结构，盖上剩下的空缺即可。 神奇的是，双新月双丸塔可以一分为二，变成两个全等的“电熨斗”。 10.三角广底球形屋根丸塔这个结构的名字很长，它由1个六边形，3个正方形，3个五边形和13个三角形构成，也是唯一一个用了四种正多边形的约翰逊多面体。拼搭方式如下： 在一个三角形周围接三个五边形，再在三个五边形的每条边上都接上一个三角形（相邻的两个五边形共用一个三角形），做出一个“盆子”。然后取一个正六边形，在周围顺次接上正方形和三角形，做出一个“盖子”。将“盖子”盖在“盆子”上面即可。上述拼接方式可能不是最简便的，但叙述起来比较简便。 |
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