平面椭圆，一个神奇的图形

小时候的我，觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中，接触了圆锥曲线，经历了一番摧残之后，我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在，我又碰到了椭圆积分，才发现我真的太天真了......所以，我现在对椭圆充满敬畏之情，不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始，慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱.....

1.问题的引入：椭圆的周长

如果我没记错的话求平面曲线的弧长应该是导数的基本应用之一吧。首先，我们来回忆一下计算平面曲线弧长的公式。

设一连续可微的平面曲线 C 的参数方程为：

我们取这个曲线 C 上的一段微元并记作 ds 。有勾股定理可得：

而：

带入 ds 的表达式有：

两边同时积分可得：

这就是有关参数方程的弧长公式了。我们先小试牛刀，计算一下圆的周长。

我们知道，圆的标准参数方程是（其中 R 为圆的半径）：

则：

代入弧长公式有：

一切过程都十分顺利，那我们再来看看椭圆：

椭圆的标准参数方程大家肯定也不会陌生（其中 a 为半长轴长， b 为半短轴长）：

我们仅计算椭圆在第一象限的部分的弧长，之后在乘以 4 就好了。但是第一象限部分的参数的取值范围会有变化，即在第一象限中  。参数方程的导数为：

代入到弧长公式中得到：

直到现在，仍一切顺利，我们在化简一下看看：

......嗯？这玩意怎么处理？到这一步会发现根号完全去不掉，原函数也找不到。到此，本文结束。

嘿嘿，开个玩笑。聪明的数学家们是不可能就此罢休的，于是他们又开始将上面的式子进一步化简：

其中：  叫做椭圆的离心率。

式还可做变量代换： 

则：

则有变量代换后的积分：

还可以写的更有强迫症一点：

到现在，椭圆积分的雏形已经出现了。

2. 椭圆积分的诞生

经过 L.Euler 等数学家的研究，椭圆积分的知识体系渐渐完善，直到 Legendre的出现彻底彻底完善了椭圆积分的知识体系。

我们先观察 式，这个式子是椭圆周长的积分公式，而它可以被拆成两部分：

我们将拆开后的第一部分拿出来，并去掉积分上下限和系数得到不定积分：

再将第二部分拿出来，去掉系数和积分上下限得到另一个不定积分：

另外还有个一个不定积分：

这三个不定积分便是 Legendre 所总结得到的。若将上面的三个不定积分做变量代换： 

 则：

 

（这个我不知道怎么来的...）

上面的 分别叫做Legendre 第一类，第二类，第三类椭圆积分。

之后 Jacabi 又定义了三类  Jacabi 椭圆积分，是将 Legendre 椭圆积分里面的 

换回 得到的，即：

参数 k 叫做椭圆积分的模。

特别的，当 或 时，这三类椭圆积分都称为完全椭圆积分，否则称为不完全椭圆积分，即：

完全 Legendre 椭圆积分： 

完全 Jacabi 椭圆积分： 

3. 椭圆的周长公式

椭圆并非没有周长，只不过没有精确值罢了。对于其周长公式，是一个无穷级数的形式：

其中：a 为半长轴长， 为椭圆的离心率。这个级数是由第二类椭圆积分展开所得到的。（可惜我不会展开）。可见，当离心率为零时，级数退化为圆的周长公式。

当然，椭圆的周长公式有几个近似公式：

• 利用算数平均值近似：（精度较低）

Fehler（误差）。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。

• 利用平方均值近似：（精度一般）

Fehler（误差）。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。

•  近似公式：（精度很高）

Fehler（误差），Bereich（区间）。误差与离心率之间的关系。

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