【原】在线计算专题(03)：具体、抽象函数、隐函数、参数方程求导与方向导数计算

导数与微分是微积分内容的基础，就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数，导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别，但是其计算方法还是一样，只不过多元函数需要多计算几个导数而已.

本文将以具体实例形式，介绍线上计算具体、抽象函数的导数（偏导数）、微分与多元函数方向导数的计算方法.

目录：

• 1、一元、多元函数导数与导数值计算

• 2、一元、多元函数高阶导数的计算

• 3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

• 4、全微分的计算

• 5、隐函数求一阶、二阶导数

• 6、参数方程求一阶、二阶导数
  

• 7、方向导数的计算

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特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

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1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

例1  计算以下函数的导数，并求在处的导数值：

输入表达式为

d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

执行后的结果如下图所示.

结果不仅显示导数结果，也给出了函数在不同范围内的图形. 输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入，比如输入：

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

执行计算得到的结果一致.

在以上两种输入的表达式后面加上where x=1，比如输入

derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

执行计算后即得到导数值为

例2  计算以下函数的一阶偏导数和在处的偏导数值：

关于的偏导数计算输入表达式为

d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

执行后的结果为

结果除了最上面给出导数结果之外，在下面还以不同的形式给出了导数结果描述. 另外给出了二元函数的定义域与关于变量的带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

在以上表达式后面加上where (x,y)=(1,1)，即可得该点处的偏导数值. 即输入

d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)) where (x,y)=(1,1)

执行计算后得到导数值为.

关于的偏导数计算输入表达式只要将以上输入表达式中的求导变量改为y就可以了. 即

d/dy(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

执行后的结果除了导数结果不同外，其余显示内容基本一致. 其中在处的一阶导数值为.

【注】  以上求导变量也可以指定为求导变量，比如输入

d/da(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则计算结果为，即对变量求导，并显示导数结果图形.

2、一元、多元函数高阶导数的计算

例1  计算以下函数的50阶导数：

输入表达式为

d^50/dx^50((x^2)cosx)

执行后的结果显示为

例2  求以下函数关于的三阶偏导数与关于的二阶偏导数的混合高阶偏导数：

输入表达式为

d^3/dx^3 d^2/dy^2 ((x^2+y^2)e^(x+y))

执行后显示结果.  结果除了显示偏导数外，还会显示结果曲面图、等值线图，可能的其他表达形式以及方程的根分布情况，级数展开形式，不定积分及诶过与极小值点与极小值等信息，如下图.

3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可.

例1  计算下列函数的一阶、二阶导数：

输入表达式为

d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

执行后的结果为

由于除了外还包含其他符号，所以结果以偏导数描述形式其输入形式.

例2  计算以下函数的导数：

输入表达式为

d^2/dx^2 f(x y, x^2-y^2), d/dx d/dy f(x y, x^2-y^2)

执行后的结果为

4、全微分的计算

由于一元函数的微分就是导数乘以自变量微分

即完全可以直接归结为导数的计算，下面仅仅介绍多元函数全微分的计算方法.

例  计算以下函数的全微分：

直接输入表达式为

derivative of a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)

自动识别变量为, ，执行计算后的结果不仅会得到全微分表达式，也会单独列出两个偏导数. 显示结果如下：

其中derivative可以替换为differential. 也可以直接基于Wolfram语言，也即Mathematica中的命令来执行计算，比如输入表达式

Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则将表达式中的符号都识别为变量符号，执行计算得到全微分表达式. 如下图.

只要令结果表达式中不是变量的符号，比如这里a它的微分令为0，即，得到的结果就是关于所有变量的微分表达式.

5、隐函数求一阶、二阶导数

例1 计算由以下方程确定的一元函数的一阶导数.

参考输入表达式为

derivative x^3+y^3-3a x y=0 with respect to x

执行后的结果显示为

例2  计算由以下方程确定的函数二阶导数：

可以考虑如下参考步骤：

(1) 求一阶导数

derivate y(x)=tan(x+y) with respect to x

执行后的结果显示为

(2) 对一阶导数求导数.

将上面的求导等式替换为计算得到的一阶导函数，并将替换为的函数描述，如输入表达式为

derivate -csc^2(x + y(x)) with respect to x

将鼠标指针移动到结果显示区域，在右下角出现的选项按钮中选项中点击结果右下角的“Plain Text”，如下图.

在弹出结果的文本输入表达式列表中，单击第一个，则将表达式复制到剪贴板中，然后在搜索编辑框中粘贴，用等式左边的一阶导数替换右边的一阶导数，然后将等号左边的部分删除，将替换为，并在前面加上化简函数simplify，最终修改后的参考输入表达式如下

simplify 2 (-csc^2(x + y) + 1) cot(x + y) csc^2(x + y)

计算后得到二阶导数结果如下

6、参数方程求一阶、二阶导数

参数方程求导的一阶导数直接应用公式求两个导数的比值即可，对于二阶导数则可以参照以上隐函数求二阶导数的思路，也可以直接使用求导公式计算.

例  计算以下参数方程确定的函数的一阶、二阶导数：

由参数方程求一阶、二阶导数公式

利用公式计算一阶导数，输入表达式为

(d/dt e^t sint)/(d/dt e^t cost)

执行后的结果显示为

除了得到一阶导数结果外，当然还会显示一阶导函数很多各种相关的描述.

利用公式计算二阶导数，输入表达式为

((d^2/dt^2 e^t sint)(d/dt e^t cost)-(d/dt e^t sint)(d^2/dt^2 e^t cost))/(d/dt e^t cost)^3

执行后的结果显示为

7、方向导数的计算

例1  计算以下函数指定方向的方向导数：

输入表达式为

derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

执行后的结果显示为

不仅给出了方向导数，也给出了函数的梯度向量.

例2  计算以下函数指定方向的方向导数：

输入表达式为

derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

执行后的结果显示为

例3  计算以下函数指定方向和点处的方向导数：

输入表达式为

derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

执行后的结果显示为

当然以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式，逐步计算代入得到结果.