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【含义】关于船速、水速、逆水、顺水的航行问题。船速即船只在静水中航行的速度，水速指水流速度，船只顺水航行是船速与水速之和，船只逆水航行是船速与水速只差。 【数量关系】 （顺水速度+逆水速度）÷2=船速 （顺水速度-逆水速度）÷2=水速 顺水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2 逆水速度=船速×2-顺水速度=顺水速度-水速×2 【解题思路】直接套用公式即可。 【例】一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水航行这段路程需用几小时？ 解：直接套用公式——船速为320÷8-15=25（千米/小时） 船在逆水中的速度为25-15=10（千米/小时） 船逆水航行这段路程的时间为320÷10=32（小时） 题型十二：火车过桥问题 【数量关系】 火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）÷车速 【解题思路】利用数量关系及其变式求解。 【例】一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？ 解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 先求火车三分钟行多少米——900×3=2700（米） 再求火车长度——2700-2400=300（米） 综合算式：900×3-2400=300（米） 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍。 二者的速度差为11/12。 【解题思路】变通为“追及问题”或者“差倍问题”求解。 【例】从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合。 解：根据数量关系，每分钟分针比时针多走（1-1/12）=11/12格。4点整时，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20÷（1-1/12）≈22分 题型十四：盈亏问题 【数量关系】 一盈一亏，则有： 参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差 两次都盈或两次都亏，则有： 参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差 参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差 【解题思路】分清是哪种盈亏问题，直接套用公式。 【例】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少个小朋友？有多少个苹果？ 解：一盈一亏问题，直接套用公式—— 先求有小朋友多少人：（11+1）÷（4-3）=12（人） 有多少个苹果：3×12+11=47（个） 题型十五：工程问题 【数量关系】 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作时间=工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率） 【解题思路】解答问题的关键是把工作总量看做“1”，再套用公式。 【例】一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 解：把此项工程看作单位“1”，那么甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，两队合作每天完成（1/10+1/15），由此可列出算式 1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天） 【数量关系】草总量=原有草量+草每天生长量×天数 【解题思路】关键是求草每天的生长量。 【例】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？ 解：设每头牛每天吃草量为1，根据公式分5步解答： 求草每天的生长量：50÷（20-10）=5 求草原有草量=10天内总草量-10天内生长量 =1×15×10-5×10=100 求5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125 求多少头牛5天吃完草：125÷（5×1）=25（头） 题型十七：鸡兔同笼问题 【数量关系】 第一类问题：假设全都是鸡，则有 兔数=（实际脚数-2×鸡兔总数）÷（4-2） 假设全都是兔，则有 鸡数=（4×鸡兔总数-实际脚数）÷（4-2） 第二类问题： 假设全都是鸡，则有 兔数=（2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差）÷（4+2） 假设全都是兔，则有 鸡数=（4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差）÷（4+2） 【解题思路】分清是哪一类鸡兔同笼问题，然后套用公式即可。 【例】鸡兔同笼，共有35只头，94只脚，问鸡兔分别多少只？ 解：假设笼子里全是兔子，则根据公式 鸡数=（4×35-94）÷（4-2）=23（只） 兔数=94-23=12（只） 题型十八：商品利润问题 【数量关系】 利润=售价-进价 利润率-（售价-进价）÷进价×100% 售价=进价×（1+利润率） 亏损=进货价-售价 亏损率=（进货价-售价）÷进货价×100% 【解题思路】利用公式及其变式即可解答。 【例】某商量的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？ 解：设这种商品原价为“1”，则一月份售价为（1+10%），二月份售价为（1+10%）×（1-10%），所以二月份售价比原价下降了 1-（1+10%）×（1-10%）=1% 【数量关系】 年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息=本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率×存款年（月）利率） 【解题思路】直接套用公式即可。 【例】大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长？ 解：先求总利息是（1488-1200）元， 再求总利率为（1488-1200）÷1200 则存款月数为（1488-1200）÷1200÷0.8%=30（月） 题型二十：溶液浓度问题 【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液×100% 【解题思路】利用公式及其变式，进行分析计算，即可解题。 【例】现有16%的糖水50克，要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？ 解：直接根据公式 50×16%÷10%-50=30（克） 题型二十一：列方程问题 【数量关系】方程等号左右两边是等量关系。 【解题思路】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 审：认真审题，找出已知条件和待求问题。 设：将未知数设为X。 列：根据已知条件，列出方程。 解：求解所列方程。 验：检验方程的等量关系及求解过程是否正确。 答：写答语，回答题目所问。 【例】甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解：设乙班有X人，则甲班有（90-X）人， 根据等量关系可以列如下方程 90-X=2X-30 解方程得X=40，从而得90-40=50 答：甲班50人，乙班40人。
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