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——《大罕数学教学随笔》第1.17节修订稿 大罕 生活中的“循序渐进”，是指学习、工作等按照一定的顺序、步骤逐渐进步或提高．数学教学上的“循序渐进”，是指教师要严格按照数学知识的内在逻辑体系和学生认知能力的形成规律进行教学． 循序渐进不是主观随意提出的空洞的口号，而是古今中外无数实践经验的总结．在数学教学中坚持循序渐进的原则，能激发学生的学习兴趣，提高他们的学习能力、实践能力和综合能力． 贯彻循序渐进原则，应该做好如下几点： 第一、把握数学内容的系统性。 数学教材的系统性是指整个教材的编排体系，各个章节的知识脉络，各知识之间的内在联系，包括来龙去脉、纵横关系．对于具体的知识点，基础是什么，为哪些后续知识作何铺垫，这些都是系统性所要求的．胸中有大局，谋事有分寸；胸中有丘壑，下笔如有神． 例如，纵观整个中学数学内容，函数如一根红线把各个分支紧紧地连在一起，构成有机的知识网络．函数的重要性不言而喻．若把掌握知识点用“闯关”来形容，那么学好函数到底要闯多少关？ 据粗略统一，函数有十六“关”：定义域；函数值；
值域；最值；函数解析式；
分段函数（绝对值函数）；函数的单调性与奇偶性；函数图像及变换；函数、等式、不等式的关系；高中观点下的二次函数；幂函数；反函数；
指数函数和对数函数；抽象函数；复合函数；应用题． 第二、要抓住重点和突破难点． 循序渐进决不意味着对教学内容没有区别地平均使力，而是要抓住重点、突破难点． 重点是在整个知识体系中处于重要位置或发挥突出作用的内容．难点是指学习过程中阻力较大或难度较高的地方．由于重点与难点形成的依据不同，所以，有的内容是重点又是难点，有的内容是重点但不是难点，还有的内容是难点但不一定是重点．教学中要要分析教材和学生的基础上，区分好重点和难点． 重点多在知识发生点的重要位置处发生．找准知识的生长点，有利于抓住重点．有的新知识与某些旧知识属于同类或相似，要突出共同点（例如等比数列与等差数列的类比）；有的新知识由两个或两个以上的旧知识组合而成的，要突出连接点（例如求古典概率的方法）；有的新知识由某旧知识发展而来的，要突出演变点（例如复数概念）． 难点之所以有较大阻力或难于接受，要么是矛盾集中了形成阻力，要么是在思维上拐弯太急了不能适应，因此，要突破难点，需要做三个方面的工作，一是警示难点，二是分散难点，三是剖析难点． 生活经验告诉我们，凡事预则立不预则废．难点来了，就要预示．预示就是警示．它告诉我们要认真对待，切不可懈怠．分散难点也是重要的方法．难点分散了，化整为零了，其难就很容易破了．剖析难点也是一个重要的方法．从各角度审视它，将其分散后逐一研究它，真相就大白了． 例如：设00且a≠1，比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小． 分析：此题是比较两个对数式子取绝对值后的大小，看来有一定的难度．去绝对值要讨论绝对值符号内的对数是正值还是负值，而对数的符号既与底数a有关，还与真数有关．双重分类的讨论，确实存在一定的困难．此为警示，该题需要认真对待． 进一步考虑，真数式子内的x的范围已经给定，那么真数的范围间接给定了，那么我们对底数a的范围进行分类时就可以确定对数的符号了．于是解法如下： 解：因为0<1-x<1，1+x>1，0<1-x^2<1 . ①
当a>1时，loga(1-x)<0，loga(1+x)>0，loga(1-x^2)<0， ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)
=-loga(1-x^2)>0, ② 当00， ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)
=loga(1-x^2)>0, 综上，|loga(1-x)|>|loga(1+x)| . 当然本题还可以通过作差、作商也能解决问题．这里从略． 第三，在整个教学中，要由浅入深，由易到难组织教学． 对于大多数学生而言，教学中不要一下就要求过高．可以先从简单入手，在低水平中做够一定数量的练习．另一方面，正如华罗庚指出“循序渐进决不是在原有水平上兜圈子，而是要一步一步前进，而且是要尽快地一步一步前进．”也就是说，要按最近发展区的理论要求，适时抛出稍有难度的题目，让学生＂跳一跳就能摘到桃子＂．同时要注意，在由易到难的过程中，对待难点要采取恰当的处理方式，比如不妨从浅显处入手加以分析，把问题简化或者直观些，有时能达到醍醐灌顶的效果． 比如式子 1/(1×4)+1/(2×5)+1/(3×6)+…+1/n(n+3) =
(1/3)[1/1-1/4+1/2-1/5+1/3-1/6+…+1/n-1/(n+3)] 的右边括号内，到底有哪些项抵消了，还有哪些项留下来，学生难以把握．我们只要把n具体化，比如令n＝7，就有 1/(1×4)+1/(2×5)+1/(3×6)+ 1/(4×7)+ 1/(5×8)+ 1/(6×9)+ 1/(7×10) =(1/3)(1/1-1/4+1/2-1/5+1/3-1/6+1/4-1/7+1/5-1/8+1/6-1/9+1/7-1/10) =(1/3)（1/1+1/2+1/3-1/8-1/9-1/10) 也就是说，留下来是顺数第1、3、5项和倒数1、3、5项，据此规律，对于抽象的n来说，那就有 1/(1×4)+1/(2×5)+1/(3×6)+…+1/n(n+3) =(1/3)[1/1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)]. 最后要强调一点的是，循序渐进教学过程中，如果有学生有遗忘现象，或者一时反映迟钝，或者不小心犯了错误，当学生毫无察觉时，教师可以善意地提醒一下；当学生意识到了时，教师就不必再加以严厉批评了，应允许学生在循序中出现反复，逐渐进步．
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