【原】加拿大CRUX杂志问题4591－4600 -中文翻译

4591.（ Pericles Papadopoulos供题）
P为内部一点, 的平分线分别与对边交于.
求证: 三线共点. 且他们的交点K满足

4592.( Michel Bataille 供题)中,   其外心为 ,设的外接圆为 . 过O作OA的垂线, 与交于点M, 直线AM与再次相交于点N. 求证:

4593.( Diaconu Radu 供题) 在实数范围内解方程:

4594. (Nguyen Viet Hung 供题) 对三角形 内切圆上任意一点M, 证明:

其中 , 分别为 过, 的高的长度,   和分别表示外接圆和内切圆半径.
4595. ( Nguyen Viet Hung供题) 已知正整数 ,设 . 求 .

4596. ( Boris Colakovic 供题) 设 为三角形 三边长, 其内切圆半径为 ,外接圆半径为 . 求证:

4597.(George Apostolopoulos供题) 正实数 满足 求证:
4598 .( George Stoica供题) 已知n次复系数多项式 没有模小于1的复根z. 证明: 对任意 , ,均有 .

4599.( Albert Natian 供题) 已知的三边长的平方和为133. 若将其中两条边增大倍, 另一条边增大倍,其中为27的因数, 为8的因数, 则可以得到一个与原三角形相似的, 且其面积为的324倍. 求的三边长.

4600.(Semen Slobodianiuk供题, 编辑部修改) 若一个四边形既有内切圆, 又有外接圆, 就称它是一个双心四边形. 已知双心四边形ABCD内接于圆, 外切于圆. 若将其顶点ABCD沿运动, 并始终保持四边与相切, 求其质心运动的轨迹.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。